Contoh Soal Persamaan Lingkaran beserta Pembahasannya #5
Hai sob, pada postingan kali ini, mimin sajikan lanjutan beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi persamaan lingkaran (kelas 11 SMA). Cuss, langsung saja. Berikut contoh-contoh soal dan pembahasannya. Selamat belajar. Semoga bermanfaat.
Contoh soal 1
Persamaan lingkaran yang berpusat di $(0,0)$ dan berjar-jari $3 \sqrt{2}$ adalah ...
Jawab:
Persamaan lingkaran yang berpusat di $(0,0)$ dan berjar-jari $r$ adalah $x^2+y^2=r^2$
Sehingga dapat diperoleh persamaan lingkarannya adalah
$\begin{aligned} x^2+y^2&=r^2\\ x^2+y^2&=(3 \sqrt{2})^2\\ x^2+y^2&=18 \end{aligned}$
Jadi, persamaan lingkarannya adalah $x^2+y^2=18$
Contoh soal 2
Jika $(a,b)$ dan $r$ berturut-turut adalah pusat dan jari-jari lingkaran $x^2+y^2-2x-2y-14=0$, maka nilai $a^2+b^2-(r^2+2ab) =$ ...
Jawab:
Dari persamaan lingkaran pada soal diatas, diketahui bahwa $A=-2$, $B=-2$, dan $C=-14$
Mencari pusat lingkaran
$\begin{aligned} \text{Pusat lingkaran (a,b) }&= (-\frac{1}{2}A, -\frac{1}{2}B)\\ &= (-\frac{1}{2}(-2), -\frac{1}{2}(-2))\\ &= (1,1) \end{aligned}$
Mencari jari-jari lingkaran
$\begin{aligned} r&=\sqrt{\frac{1}{4}A^2+\frac{1}{4}B^2-C}\\ &=\sqrt{\frac{1}{4}(-2)^2+\frac{1}{4}(-2)^2+14}\\ &= \sqrt{1+1+14}\\ &= \sqrt{16}\\ &=4 \end{aligned}$
Sehingga didapat
$\begin{aligned} a^2+b^2-(r^2+2ab) &= 1^2+1^2-(4^2+2.1.1)\\ &= 1+1-18\\ &= -16 \end{aligned}$
Contoh soal 3
Lingkaran $x^2+y^2+ax+8y+25=0$ menyinggung sumbu $X$. Nilai $a$ yang memenuhi adalah ...
Jawab:
Karena lingkaran menyinggung sumbu $X$ dapat diartikan bahwa lingkaran menyinggung garis $y=0$ (nilai deskriminan $D=0$)
Sehingga
$\begin{aligned} x^2+y^2+ax+8y+25&=0\\ x^2+0^2+ax+8.0+25&=0\\ x^2+ax+25&=0\\ \\ D&=b^2-4ac\\ 0&=a^2-4.1.25\\ 0&=a^2-100\\ 0&=(a+10)(a-10)\\ a&=-10 \vee a=10 \end{aligned}$
Jadi, nilai $a$ yang memenuhi adalah $a=-10$ atau $a=10$
Contoh soal 4
Persamaan lingkaran yang pusatnya di $(-3,4)$ dan menyinggung garis $2x-3y+5=0$ adalah ...
Jawab:
Jarak dari pusat $(-3,4)$ ke garis $2x-3y+5=0$ adalah jari-jari lingkaran, sehingga didapat
$\begin{align} r &= \left| \frac{2(-3)-3.4+5}{\sqrt{(2)^2 + (-3)^2}} \right| \\ &= \left| -\frac{13}{\sqrt{13}} \right| \\ &= \sqrt {13}\end{align}$
Jadi, persamaan lingkarannya adalah
$\begin{aligned} (x-a)^{2}+(y-b)^{2} &= r^{2} \\ (x+3)^{2}+(y-4)^{2} &= (\sqrt {13})^{2} \\ (x+3)^{2}+(y-4)^{2} &=13 \end{aligned}$
Contoh soal 5
Persamaan lingkaran yang berpusat di $(3,2)$ dan melalui titik $(5,0)$ adalah ...
Jawab:
Jarak dari pusat $(3,2)$ ke titik $(5,0)$ adalah jari-jari lingkaran, sehingga didapat
$\begin{aligned} r&= \sqrt {(5-3)^2+(0-2)^2}\\ &= \sqrt {4+4}\\ &= \sqrt {8} \end{aligned}$
Jadi, didapat persamaan lingkarannya adalah
$\begin{aligned} (x-a)^{2}+(y-b)^{2} &= r^{2} \\ (x-3)^{2}+(y-2)^{2} &= (\sqrt {8})^{2} \\ (x-3)^{2}+(y-2)^{2} &=8 \end{aligned}$
Contoh soal 6
Diketahui titik $A(4,9)$ dan titik $B(4,1)$. Persamaan lingkaran dengan diameter $AB$ adalah ...
Jawab:
Mencari jari-jari lingkaran
Diketahui jarak dari titik $A(4,9)$ ke titik $B(4,1)$ adalah diameter lingkaran. Sehingga
$\begin{aligned} d&= \sqrt {(4-4)^2+(1-9)^2}\\ &= \sqrt {64}\\ &= 8\\ \\ r&=\frac{1}{2}d\\ &=\frac{1}{2}8\\ &=4 \end{aligned}$
Didapat jari-jari lingkarannya adalah $4$ dan pusat lingkarannya di titik$(4,5)$
Jadi, didapat persamaan lingkarannya adalah
$\begin{aligned} (x-a)^{2}+(y-b)^{2} &= r^{2} \\ (x-4)^{2}+(y-5)^{2} &=4^{2} \\ (x-4)^{2}+(y-5)^{2} &=16 \end{aligned}$
Contoh soal 7
Suatu lingkaran yang berpusat pada titik potong garis $x-y+5=0$ dan garis $x+y-9=0$ serta menyinggung garis $4x+3y-4=0$. Persamaan lingkaran tersebut adalah ...
Jawab:
Mencari titik pusat lingkaran
Karena pusat lingkarannya terletak pada titik potong kedua garis maka dapat diperoleh sebagai berikut
$\begin{aligned} x-y+5&=0\\ y&=x+5 ~~...(1)\\ \\ x+y-9=0 \\ x+x+5-9&=0~~~\text{(substitusi pers (1))}\\ 2x-4&=0\\ 2x&=4\\ x&=2 \end{aligned}$
Substitusi $x=2$ ke pers (1)
$\begin{aligned} y&=x+5 \\ y&=2+5\\ y&=7 \end{aligned}$
Jadi, titik potong kedua garis adalah $(2,7)$. Sehingga dapat diperoleh pusat lingkarannya pada titik $(2,7)$.
Mencari jari-jari lingkaran
$\begin{align} r &= \left| \frac{4.2+3.7-4}{\sqrt{(4)^2 + (3)^2}} \right| \\ &= \left| \frac{25}{\sqrt{25}} \right| \\ &= \left| \frac{25}{5} \right| \\ &= 5 \end{align}$
Jadi, persamaan lingkarannya adalah
$\begin{aligned} (x-a)^{2}+(y-b)^{2} &= r^{2} \\ (x-2)^{2}+(y-7)^{2} &= 5^{2} \\ (x-2)^{2}+(y-7)^{2} &=25 \end{aligned}$
Contoh soal 8
Persamaan lingkaran yang melalui titik $A(0,2)$,$B(-6,6)$, dan $C(-6,2)$ adalah ...
Jawab:
Bentuk umum persamaan lingkaran adalah $x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$
Substitusi titik $A(0,2)$,$B(-6,6)$, dan $C(-6,2)$ ke bentuk umum persamaan lingkaran
$\bullet$ Untuk titik $A(0,2)$
$\begin{aligned} x^2 + y^2 + Ax + By + C &= 0 \\ 0^2 + 2^2 + A.0 + B.2 + C &= 0 \\ 4 + 2B + C &= 0\\ 2B + C &= -4\ ...(1) \end{aligned}$
$\bullet$ Untuk titik $B(-6,6)$
$\begin{aligned} x^2 + y^2 + Ax + By + C &= 0 \\ (-6)^2 + 6^2 + A.(-6) + B.6 + C &= 0 \\ 72 -6A+ 6B + C &= 0\\ 6A-6B- C &= 72\ ...(2) \end{aligned}$
$\bullet$ Untuk titik $C(-6,2)$
$\begin{aligned} x^2 + y^2 + Ax + By + C &= 0 \\ (-6)^2 + 2^2 + A.(-6) + B.2 + C &= 0 \\ 40 -6A +2B+ C &= 0\\ 6A-2B- C &= 40\ ...(3) \end{aligned}$
Sehingga didapat 3 persamaan yaitu
$2B + C = -4\ ...(1)$
$6A-6B- C = 72\ ...(2)$
$6A-2B- C = 40\ ...(3) $
Kita selesaikan ketiga persamaan tersebut untuk memperoleh nilai A, B, dan C
Eliminasi A dari (2) dan (3)
$\begin{aligned} 6A-6B- C &= 72 \\6A-2B- C &= 40~~~~ -\\ \hline \\ -4B&= 32\\ B&= -8 \end{aligned}$
Substitusi $B=-8$ ke pers $(1)$
$\begin{aligned} 2(-8) + C &= -4 \\ -16 + C &= -4\\ C&= 12 \end{aligned}$
Substitusi $B=-8$ dan $C = 12$ ke pers $(2)$
$\begin{aligned} 6A-6B- C &= 72 \\ 6A-6(-8)- 12 &= 72\\ 6A+36&= 72\\ 6A&=36\\ A&=6 \end{aligned}$
Jadi, didapat persamaan lingkarannya adalah
$x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$
$\boxed{x^2 + y^2 +6x -8y + 12 = 0}$
Contoh soal 9
Titik $(4,k)$ terletak pada lingkaran $x^2+y^2-8x+8y+28=0$. Nilai $k$ adalah ...
Jawab:
Substitusi titik $(4,k)$ pada persamaan lingkaran
$\begin{aligned} x^2+y^2-8x+8y+28&=0\\ 4^2+k^2-8.4+8.k+28&=0\\ k^2+8k+12&=0\\ (k+2)(k+6)&=0\\ k=-2 \vee k&=-6 \end{aligned}$
Jadi, nilai $k$ yang memenuhi adalah $k=-2$ atau $k=-6$
Contoh soal 10
Diketahui persamaan lingkaran $x^2+y^2+8x-2py+9=0$. Jika titik $P(-6,3)$ terletak pada lingkaran, jari-jari lingkaran tersebut adalah ...
Jawab:
Titik $P(-6,3)$ terletak pada lingkaran sehingga dapat diperoleh
$\begin{aligned} x^2+y^2+8x-2py+9&=0\\ (-6)^2+3^2+8.(-6)-2p.3+9&=0\\ 36+9-48-6p+9&=0\\ -6p+6&=0\\ -6p&=-6\\ p&=1 \end{aligned}$
Jadi, bentuk suku banyaknya adalah $x^2+y^2+8x-2y+9=0$
Mencari jari-jari lingkaran
$\begin{aligned} r&=\sqrt{\frac{1}{4}A^2+\frac{1}{4}B^2-C}\\ &=\sqrt{\frac{1}{4}(8)^2+\frac{1}{4}(-2)^2-9}\\ &= \sqrt{16+1-9}\\ &= \sqrt{8} \end{aligned}$
Jadi, jari-jari lingkarannya adalah $\sqrt{8}$
Demikianlah beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi persamaan lingkaran (kelas 11 SMA). Semoga bermanfaat.
Referensi
Noormandiri, B.K. 2016. Matematika Jilid 2 untuk SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: Penerbit Erlangga.
