Contoh Soal Persamaan Lingkaran beserta Pembahasannya #5

Hai sob, pada postingan kali ini, mimin sajikan lanjutan beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi persamaan lingkaran (kelas 11 SMA). Cuss, langsung saja. Berikut contoh-contoh soal dan pembahasannya. Selamat belajar. Semoga bermanfaat.

Contoh soal 1

Persamaan lingkaran yang berpusat di $(0,0)$ dan berjar-jari $3\sqrt{2}$ adalah ...

Jawab:

Persamaan lingkaran yang berpusat di $(0,0)$ dan berjar-jari $r$ adalah $x^2+y^2=r^2$

Sehingga dapat diperoleh persamaan lingkarannya adalah

$\begin{array}{rl}{x}^2+y^2& =r^2\\ x^2+y^2& =(3\sqrt{2}{)}^2\\ x^2+y^2& =18\end{array}$

Jadi, persamaan lingkarannya adalah $x^2+y^2=18$

Contoh soal 2

Jika $(a,b)$ dan $r$ berturut-turut adalah pusat dan jari-jari lingkaran $x^2+y^2-2x-2y-14=0$, maka nilai $a^2+b^2-(r^2+2ab)=$ ...

Jawab:

Dari persamaan lingkaran pada soal diatas, diketahui bahwa $A=-2$, $B=-2$, dan $C=-14$  

Mencari pusat lingkaran

$\begin{array}{rl}\text{Pusat lingkaran (a,b) }& =(-\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B)\\ & =(-\frac{1}{2}(-2),-\frac{1}{2}(-2))\\ & =(1,1)\end{array}$

Mencari jari-jari lingkaran

$\begin{array}{rl}r& =\sqrt{\frac{1}{4}{A}^2+\frac{1}{4}{B}^2-C}\\ & =\sqrt{\frac{1}{4}(-2{)}^2+\frac{1}{4}(-2{)}^2+14}\\ & =\sqrt{1+1+14}\\ & =\sqrt{16}\\ & =4\end{array}$

Sehingga didapat

$\begin{array}{rl}{a}^2+b^2-(r^2+2ab)& =1^2+1^2-(4^2+2.1.1)\\ & =1+1-18\\ & =-16\end{array}$

Contoh soal 3

Lingkaran $x^2+y^2+ax+8y+25=0$ menyinggung sumbu $X$. Nilai $a$ yang memenuhi adalah ...

Jawab:

Karena lingkaran menyinggung sumbu $X$ dapat diartikan bahwa lingkaran menyinggung garis $y=0$ (nilai deskriminan $D=0$) 

Sehingga

$\begin{array}{rl}{x}^2+y^2+ax+8y+25& =0\\ x^2+0^2+ax+8.0+25& =0\\ x^2+ax+25& =0\\ \\ D& =b^2-4ac\\ 0& =a^2-4.1.25\\ 0& =a^2-100\\ 0& =(a+10)(a-10)\\ a& =-10\vee a=10\end{array}$

Jadi, nilai $a$ yang memenuhi adalah $a=-10$ atau $a=10$

Contoh soal 4

Persamaan lingkaran yang pusatnya di $(-3,4)$ dan menyinggung garis $2x-3y+5=0$ adalah ...

Jawab:

Jarak dari pusat $(-3,4)$ ke garis $2x-3y+5=0$ adalah jari-jari lingkaran, sehingga didapat

$\begin{array}{rl}r& =\left|\frac{2(-3)-3.4+5}{\sqrt{(2{)}^2+(-3{)}^2}}\right|\\ & =|-\frac{13}{\sqrt{13}}|\\ & =\sqrt{13}\end{array}$

Jadi, persamaan lingkarannya adalah

$\begin{array}{rl}(x-a{)}^2+(y-b{)}^2& =r^2\\ (x+3{)}^2+(y-4{)}^2& =(\sqrt{13}{)}^2\\ (x+3{)}^2+(y-4{)}^2& =13\end{array}$

Contoh soal 5

Persamaan lingkaran yang berpusat di $(3,2)$ dan melalui titik $(5,0)$ adalah ...

Jawab:

Jarak dari pusat $(3,2)$ ke titik $(5,0)$ adalah jari-jari lingkaran, sehingga didapat

$\begin{array}{rl}r& =\sqrt{(5-3{)}^2+(0-2{)}^2}\\ & =\sqrt{4+4}\\ & =\sqrt{8}\end{array}$

Jadi, didapat persamaan lingkarannya adalah

$\begin{array}{rl}(x-a{)}^2+(y-b{)}^2& =r^2\\ (x-3{)}^2+(y-2{)}^2& =(\sqrt{8}{)}^2\\ (x-3{)}^2+(y-2{)}^2& =8\end{array}$

Contoh soal 6

Diketahui titik $A(4,9)$ dan titik $B(4,1)$. Persamaan lingkaran dengan diameter $AB$ adalah ...

Jawab:

Mencari jari-jari lingkaran

Diketahui jarak dari titik $A(4,9)$ ke titik $B(4,1)$ adalah diameter lingkaran. Sehingga

$\begin{array}{rl}d& =\sqrt{(4-4{)}^2+(1-9{)}^2}\\ & =\sqrt{64}\\ & =8\\ \\ r& =\frac{1}{2}d\\ & =\frac{1}{2}8\\ & =4\end{array}$

Didapat jari-jari lingkarannya adalah $4$ dan pusat lingkarannya di titik$(4,5)$

Jadi, didapat persamaan lingkarannya adalah

$\begin{array}{rl}(x-a{)}^2+(y-b{)}^2& =r^2\\ (x-4{)}^2+(y-5{)}^2& =4^2\\ (x-4{)}^2+(y-5{)}^2& =16\end{array}$

Contoh soal 7

Suatu lingkaran yang berpusat pada titik potong garis $x-y+5=0$ dan garis $x+y-9=0$ serta menyinggung garis $4x+3y-4=0$. Persamaan lingkaran tersebut adalah ...

Jawab:

Mencari titik pusat lingkaran

Karena pusat lingkarannya terletak pada titik potong kedua garis maka dapat diperoleh sebagai berikut

$\begin{array}{rl}x-y+5& =0\\ y& =x+5...(1)\\ \\ x+y-9=0\\ x+x+5-9& =0\text{(substitusi pers (1))}\\ 2x-4& =0\\ 2x& =4\\ x& =2\end{array}$

Substitusi $x=2$ ke pers (1)

$\begin{array}{rl}y& =x+5\\ y& =2+5\\ y& =7\end{array}$

Jadi, titik potong kedua garis adalah $(2,7)$. Sehingga dapat diperoleh pusat lingkarannya pada titik $(2,7)$.

Mencari jari-jari lingkaran

$\begin{array}{rl}r& =\left|\frac{4.2+3.7-4}{\sqrt{(4{)}^2+(3{)}^2}}\right|\\ & =\left|\frac{25}{\sqrt{25}}\right|\\ & =\left|\frac{25}{5}\right|\\ & =5\end{array}$

Jadi, persamaan lingkarannya adalah

$\begin{array}{rl}(x-a{)}^2+(y-b{)}^2& =r^2\\ (x-2{)}^2+(y-7{)}^2& =5^2\\ (x-2{)}^2+(y-7{)}^2& =25\end{array}$

Contoh soal 8

Persamaan lingkaran yang melalui titik $A(0,2)$,$B(-6,6)$, dan $C(-6,2)$ adalah ...

Jawab:

Bentuk umum persamaan lingkaran adalah $x^2+y^2+Ax+By+C=0$

Substitusi titik $A(0,2)$,$B(-6,6)$, dan $C(-6,2)$ ke bentuk umum persamaan lingkaran

$\bullet$ Untuk titik $A(0,2)$

$\begin{array}{rl}{x}^2+y^2+Ax+By+C& =0\\ 0^2+2^2+A.0+B.2+C& =0\\ 4+2B+C& =0\\ 2B+C& =-4...(1)\end{array}$

$\bullet$ Untuk titik $B(-6,6)$

$\begin{array}{rl}{x}^2+y^2+Ax+By+C& =0\\ (-6{)}^2+6^2+A.(-6)+B.6+C& =0\\ 72-6A+6B+C& =0\\ 6A-6B-C& =72...(2)\end{array}$

$\bullet$ Untuk titik $C(-6,2)$

$\begin{array}{rl}{x}^2+y^2+Ax+By+C& =0\\ (-6{)}^2+2^2+A.(-6)+B.2+C& =0\\ 40-6A+2B+C& =0\\ 6A-2B-C& =40...(3)\end{array}$

Sehingga didapat 3 persamaan yaitu

$2B+C=-4...(1)$

$6A-6B-C=72...(2)$

$6A-2B-C=40...(3)$

Kita selesaikan ketiga persamaan tersebut untuk memperoleh nilai A, B, dan C

Eliminasi A dari (2) dan (3)

$\begin{array}{rl}6A-6B-C& =72\\ 6A-2B-C& =40-\\ \\ -4B& =32\\ B& =-8\end{array}$

Substitusi $B=-8$ ke pers $(1)$

$\begin{array}{rl}2(-8)+C& =-4\\ -16+C& =-4\\ C& =12\end{array}$

Substitusi $B=-8$ dan $C=12$ ke pers $(2)$

$\begin{array}{rl}6A-6B-C& =72\\ 6A-6(-8)-12& =72\\ 6A+36& =72\\ 6A& =36\\ A& =6\end{array}$

Jadi, didapat persamaan lingkarannya adalah 

$x^2+y^2+Ax+By+C=0$

$\boxed{{\displaystyle x^2+y^2+6x-8y+12=0}}$

Contoh soal 9

Titik $(4,k)$ terletak pada lingkaran $x^2+y^2-8x+8y+28=0$. Nilai $k$ adalah ...

Jawab:

Substitusi titik $(4,k)$ pada persamaan lingkaran

$\begin{array}{rl}{x}^2+y^2-8x+8y+28& =0\\ 4^2+k^2-8.4+8.k+28& =0\\ k^2+8k+12& =0\\ (k+2)(k+6)& =0\\ k=-2\vee k& =-6\end{array}$

Jadi, nilai $k$ yang memenuhi adalah $k=-2$ atau $k=-6$

Contoh soal 10

Diketahui persamaan lingkaran $x^2+y^2+8x-2py+9=0$. Jika titik $P(-6,3)$ terletak pada lingkaran, jari-jari lingkaran tersebut adalah ...

Jawab:

Titik $P(-6,3)$ terletak pada lingkaran sehingga dapat diperoleh

$\begin{array}{rl}{x}^2+y^2+8x-2py+9& =0\\ (-6{)}^2+3^2+8.(-6)-2p.3+9& =0\\ 36+9-48-6p+9& =0\\ -6p+6& =0\\ -6p& =-6\\ p& =1\end{array}$

Jadi, bentuk suku banyaknya adalah $x^2+y^2+8x-2y+9=0$

Mencari jari-jari lingkaran

$\begin{array}{rl}r& =\sqrt{\frac{1}{4}{A}^2+\frac{1}{4}{B}^2-C}\\ & =\sqrt{\frac{1}{4}(8{)}^2+\frac{1}{4}(-2{)}^2-9}\\ & =\sqrt{16+1-9}\\ & =\sqrt{8}\end{array}$

Jadi, jari-jari lingkarannya adalah $\sqrt{8}$

Demikianlah beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi persamaan lingkaran (kelas 11 SMA). Semoga bermanfaat. 

Referensi

Noormandiri, B.K. 2016. Matematika Jilid 2 untuk SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan dan Ilmu-Ilmu Alam. Jakarta: Penerbit Erlangga.