Lompat ke konten Lompat ke sidebar Lompat ke footer

Contoh Soal Integral Fungsi Aljabar beserta Pembahasannya #4

 Contoh Soal Integral Fungsi Aljabar beserta Pembahasannya

Hai sob, pada postingan kali ini, mimin sajikan lanjutan beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi integral fungsi aljabar (kelas 11 SMA). Cuss, langsung saja. Berikut contoh-contoh soal dan pembahasannya. Selamat belajar. Semoga bermanfaat.

Contoh soal 1 
Nilai dari $\displaystyle \int  x^2 \sqrt{2x^3-1}~dx$ adalah ...
Jawab:
$ \begin{align} \displaystyle \int  x^2 \sqrt{2x^3-1}~dx &=  \int  x^2 {(2x^3-1)}^{\frac{1}{2}}~dx \end{align}$
Misalkan $u = 2x^3-1$, maka $du = 6x^2 ~dx \Leftrightarrow dx = \frac{du}{6x^2}$
Sehingga, 
$ \begin{align} \displaystyle \int  x^2 {(2x^3-1)}^{\frac{1}{2}}~dx &= \int  x^2 {u}^{\frac{1}{2}}~\frac{du}{6x^2} \\ &= \frac{1}{6} \int {u}^{\frac{1}{2}}~du \\ &= \frac{1}{6}. \frac{2}{3}  u^{\frac{3}{2}} + C \\ &= \frac{1}{9} u^{\frac{3}{2}} + C \\ &= \frac{1}{9} (2x^3-1)^{\frac{3}{2}} + C \end{align}$

Contoh soal 2 
Nilai dari $\displaystyle \int  \frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x-2}}~dx$ adalah ...
Jawab:
$ \begin{align} \displaystyle \int  \frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x-2}}~dx &=  \int  \frac{x+1}{{(x^2+2x-2)}^{\frac{1}{2}}}~dx \end{align}$
Misalkan $u = x^2+2x-2$, maka $du = 2x+2 ~dx \Leftrightarrow dx = \frac{du}{2x+2}$
Sehingga, 
$ \begin{align} \displaystyle \int  \frac{x+1}{{(x^2+2x-2)}^{\frac{1}{2}}}~dx &= \int  \frac{x+1}{{u}^{\frac{1}{2}}}~\frac{du}{2x+2} \\ &= \int  \frac{x+1}{{u}^{\frac{1}{2}}}~\frac{du}{2(x+1)} \\ &=  \frac{1}{2} \int  \frac{1}{{u}^{\frac{1}{2}}}~du \\ &= \frac{1}{2} \int {u}^{-\frac{1}{2}}~du \\ &= \frac{1}{2}.2 {u}^{\frac{1}{2}}+C\\  &=  {u}^{\frac{1}{2}}+C \\   &=  {(x^2+2x-2)}^{\frac{1}{2}}+C  \end{align}$

Contoh soal 3
Hasil substitusi $u=x+1$ pada $\displaystyle \int_{0}^{1} x^2 \sqrt{x+1}~dx$ adalah ...
Jawab:
$ \begin{align} \displaystyle \int_{0}^{1} x^2 \sqrt{x+1}~dx &=  \displaystyle \int_{0}^{1} x^2 {(x+1)}^{\frac{1}{2}}~dx \end{align}$
Karena $ u=x+1 \Leftrightarrow x=u-1$, maka $du =  ~dx $
Sehingga, 
$ \begin{align}  \displaystyle \int_{0}^{1} x^2 {(x+1)}^{\frac{1}{2}}~dx &= \int_{0}^{1} x^2 {(u)}^{\frac{1}{2}}~dx \\ &= \int_{0}^{1} (u-1)^2 {(u)}^{\frac{1}{2}}~du \end{align}$

Contoh soal 4
Nilai dari $\displaystyle \int  \frac{x}{\sqrt{9-x^2}}~dx$ adalah ...
Jawab:
$ \begin{align} \displaystyle \int  \frac{x}{\sqrt{9-x^2}}~dx &=  \int  \frac{x}{{(9-x^2)^{\frac{1}{2}}}}~dx \end{align}$
Misalkan $u = 9-x^2$, maka $du = -2x ~dx \Leftrightarrow dx = -\frac{du}{2x}$
Sehingga, 
$ \begin{align} \int  \frac{x}{{(9-x^2)^{\frac{1}{2}}}}~dx &= - \int  \frac{x}{{u^{\frac{1}{2}}}}~\frac{du}{2x} \\ &= -\frac{1}{2} \int  {u^{-\frac{1}{2}}}~du \\ &=  -\frac{1}{2}. 2 {u^{\frac{1}{2}}}+C \\ &= - {u^{\frac{1}{2}}}+C \\ &= - {(9-x^2)^{\frac{1}{2}}}+C  \end{align}$

Contoh soal 5
Nilai dari $\displaystyle \int_{0}^{3}  \frac{x}{\sqrt{25-x^2}}~dx$ adalah ...
Jawab:
$ \begin{align} \displaystyle \int_{0}^{3}  \frac{x}{\sqrt{25-x^2}}~dx &=  \int_{0}^{3}  \frac{x}{{(25-x^2)}^{\frac{1}{2}}}~dx \end{align}$
Misalkan $u = 25-x^2$, maka $du = -2x ~dx \Leftrightarrow dx = -\frac{du}{2x}$
Sehingga, 
$ \begin{align}  \displaystyle \int_{0}^{3}  \frac{x}{{(25-x^2)}^{\frac{1}{2}}}~dx &= -\int_{0}^{3}  \frac{x}{{u}^{\frac{1}{2}}}~\frac{du}{2x} \\ &= - \frac{1}{2}  \int_{0}^{3}  \frac{1}{{u}^{\frac{1}{2}}}~du \\ &=  -  (25-x^2)^{\frac{1}{2}} \Bigr|_{0}^{3} \\ &=  \left [ -  (25-3^2)^{\frac{1}{2}} \right ] - \left [ -  (25-0^2)^{\frac{1}{2}} \right ] \\ &= -4+5 \\ &= 1  \end{align}$

Demikianlah beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi integral fungsi aljabar. Semoga bermanfaat. 

Referensi:
Tim BBM. 2015. Big Book Matematika SMA Kelas 1, 2, dan 3. Jakarta: Cmedia.