Contoh Soal Integral Fungsi Aljabar beserta Pembahasannya #4

 

Hai sob, pada postingan kali ini, mimin sajikan lanjutan beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi integral fungsi aljabar (kelas 11 SMA). Cuss, langsung saja. Berikut contoh-contoh soal dan pembahasannya. Selamat belajar. Semoga bermanfaat.

Contoh soal 1 

Nilai dari $\displaystyle \int  x^2 \sqrt{2x^3-1}~dx$ adalah ...

Jawab:

$ \begin{align} \displaystyle \int  x^2 \sqrt{2x^3-1}~dx &=  \int  x^2 {(2x^3-1)}^{\frac{1}{2}}~dx \end{align}$

Misalkan $u = 2x^3-1$, maka $du = 6x^2 ~dx \Leftrightarrow dx = \frac{du}{6x^2}$

Sehingga, 

$ \begin{align} \displaystyle \int  x^2 {(2x^3-1)}^{\frac{1}{2}}~dx &= \int  x^2 {u}^{\frac{1}{2}}~\frac{du}{6x^2} \\ &= \frac{1}{6} \int {u}^{\frac{1}{2}}~du \\ &= \frac{1}{6}. \frac{2}{3}  u^{\frac{3}{2}} + C \\ &= \frac{1}{9} u^{\frac{3}{2}} + C \\ &= \frac{1}{9} (2x^3-1)^{\frac{3}{2}} + C \end{align}$

Contoh soal 2 

Nilai dari $\displaystyle \int  \frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x-2}}~dx$ adalah ...

Jawab:

$ \begin{align} \displaystyle \int  \frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x-2}}~dx &=  \int  \frac{x+1}{{(x^2+2x-2)}^{\frac{1}{2}}}~dx \end{align}$

Misalkan $u = x^2+2x-2$, maka $du = 2x+2 ~dx \Leftrightarrow dx = \frac{du}{2x+2}$

Sehingga, 

$ \begin{align} \displaystyle \int  \frac{x+1}{{(x^2+2x-2)}^{\frac{1}{2}}}~dx &= \int  \frac{x+1}{{u}^{\frac{1}{2}}}~\frac{du}{2x+2} \\ &= \int  \frac{x+1}{{u}^{\frac{1}{2}}}~\frac{du}{2(x+1)} \\ &=  \frac{1}{2} \int  \frac{1}{{u}^{\frac{1}{2}}}~du \\ &= \frac{1}{2} \int {u}^{-\frac{1}{2}}~du \\ &= \frac{1}{2}.2 {u}^{\frac{1}{2}}+C\\  &=  {u}^{\frac{1}{2}}+C \\   &=  {(x^2+2x-2)}^{\frac{1}{2}}+C  \end{align}$

Contoh soal 3

Hasil substitusi $u=x+1$ pada $\displaystyle \int_{0}^{1} x^2 \sqrt{x+1}~dx$ adalah ...

Jawab:

$ \begin{align} \displaystyle \int_{0}^{1} x^2 \sqrt{x+1}~dx &=  \displaystyle \int_{0}^{1} x^2 {(x+1)}^{\frac{1}{2}}~dx \end{align}$

Karena $ u=x+1 \Leftrightarrow x=u-1$, maka $du =  ~dx $

Sehingga, 

$ \begin{align}  \displaystyle \int_{0}^{1} x^2 {(x+1)}^{\frac{1}{2}}~dx &= \int_{0}^{1} x^2 {(u)}^{\frac{1}{2}}~dx \\ &= \int_{0}^{1} (u-1)^2 {(u)}^{\frac{1}{2}}~du \end{align}$

Contoh soal 4

Nilai dari $\displaystyle \int  \frac{x}{\sqrt{9-x^2}}~dx$ adalah ...

Jawab:

$ \begin{align} \displaystyle \int  \frac{x}{\sqrt{9-x^2}}~dx &=  \int  \frac{x}{{(9-x^2)^{\frac{1}{2}}}}~dx \end{align}$

Misalkan $u = 9-x^2$, maka $du = -2x ~dx \Leftrightarrow dx = -\frac{du}{2x}$

Sehingga, 

$ \begin{align} \int  \frac{x}{{(9-x^2)^{\frac{1}{2}}}}~dx &= - \int  \frac{x}{{u^{\frac{1}{2}}}}~\frac{du}{2x} \\ &= -\frac{1}{2} \int  {u^{-\frac{1}{2}}}~du \\ &=  -\frac{1}{2}. 2 {u^{\frac{1}{2}}}+C \\ &= - {u^{\frac{1}{2}}}+C \\ &= - {(9-x^2)^{\frac{1}{2}}}+C  \end{align}$

Contoh soal 5

Nilai dari $\displaystyle \int_{0}^{3}  \frac{x}{\sqrt{25-x^2}}~dx$ adalah ...

Jawab:

$ \begin{align} \displaystyle \int_{0}^{3}  \frac{x}{\sqrt{25-x^2}}~dx &=  \int_{0}^{3}  \frac{x}{{(25-x^2)}^{\frac{1}{2}}}~dx \end{align}$

Misalkan $u = 25-x^2$, maka $du = -2x ~dx \Leftrightarrow dx = -\frac{du}{2x}$

Sehingga, 

$ \begin{align}  \displaystyle \int_{0}^{3}  \frac{x}{{(25-x^2)}^{\frac{1}{2}}}~dx &= -\int_{0}^{3}  \frac{x}{{u}^{\frac{1}{2}}}~\frac{du}{2x} \\ &= - \frac{1}{2}  \int_{0}^{3}  \frac{1}{{u}^{\frac{1}{2}}}~du \\ &=  -  (25-x^2)^{\frac{1}{2}} \Bigr|_{0}^{3} \\ &=  \left [ -  (25-3^2)^{\frac{1}{2}} \right ] - \left [ -  (25-0^2)^{\frac{1}{2}} \right ] \\ &= -4+5 \\ &= 1  \end{align}$

Demikianlah beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi integral fungsi aljabar. Semoga bermanfaat. 

Referensi:

Tim BBM. 2015. Big Book Matematika SMA Kelas 1, 2, dan 3. Jakarta: Cmedia.