Contoh Soal Integral Fungsi Aljabar beserta Pembahasannya #4
Hai sob, pada postingan kali ini, mimin sajikan lanjutan beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi integral fungsi aljabar (kelas 11 SMA). Cuss, langsung saja. Berikut contoh-contoh soal dan pembahasannya. Selamat belajar. Semoga bermanfaat.
Contoh soal 1
Nilai dari $\displaystyle \int x^2 \sqrt{2x^3-1}~dx$ adalah ...
Jawab:
$ \begin{align} \displaystyle \int x^2 \sqrt{2x^3-1}~dx &= \int x^2 {(2x^3-1)}^{\frac{1}{2}}~dx \end{align}$
Misalkan $u = 2x^3-1$, maka $du = 6x^2 ~dx \Leftrightarrow dx = \frac{du}{6x^2}$
Sehingga,
$ \begin{align} \displaystyle \int x^2 {(2x^3-1)}^{\frac{1}{2}}~dx &= \int x^2 {u}^{\frac{1}{2}}~\frac{du}{6x^2} \\ &= \frac{1}{6} \int {u}^{\frac{1}{2}}~du \\ &= \frac{1}{6}. \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C \\ &= \frac{1}{9} u^{\frac{3}{2}} + C \\ &= \frac{1}{9} (2x^3-1)^{\frac{3}{2}} + C \end{align}$
Contoh soal 2
Nilai dari $\displaystyle \int \frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x-2}}~dx$ adalah ...
Jawab:
$ \begin{align} \displaystyle \int \frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x-2}}~dx &= \int \frac{x+1}{{(x^2+2x-2)}^{\frac{1}{2}}}~dx \end{align}$
Misalkan $u = x^2+2x-2$, maka $du = 2x+2 ~dx \Leftrightarrow dx = \frac{du}{2x+2}$
Sehingga,
$ \begin{align} \displaystyle \int \frac{x+1}{{(x^2+2x-2)}^{\frac{1}{2}}}~dx &= \int \frac{x+1}{{u}^{\frac{1}{2}}}~\frac{du}{2x+2} \\ &= \int \frac{x+1}{{u}^{\frac{1}{2}}}~\frac{du}{2(x+1)} \\ &= \frac{1}{2} \int \frac{1}{{u}^{\frac{1}{2}}}~du \\ &= \frac{1}{2} \int {u}^{-\frac{1}{2}}~du \\ &= \frac{1}{2}.2 {u}^{\frac{1}{2}}+C\\ &= {u}^{\frac{1}{2}}+C \\ &= {(x^2+2x-2)}^{\frac{1}{2}}+C \end{align}$
Contoh soal 3
Hasil substitusi $u=x+1$ pada $\displaystyle \int_{0}^{1} x^2 \sqrt{x+1}~dx$ adalah ...
Jawab:
$ \begin{align} \displaystyle \int_{0}^{1} x^2 \sqrt{x+1}~dx &= \displaystyle \int_{0}^{1} x^2 {(x+1)}^{\frac{1}{2}}~dx \end{align}$
Karena $ u=x+1 \Leftrightarrow x=u-1$, maka $du = ~dx $
Sehingga,
$ \begin{align} \displaystyle \int_{0}^{1} x^2 {(x+1)}^{\frac{1}{2}}~dx &= \int_{0}^{1} x^2 {(u)}^{\frac{1}{2}}~dx \\ &= \int_{0}^{1} (u-1)^2 {(u)}^{\frac{1}{2}}~du \end{align}$
Contoh soal 4
Nilai dari $\displaystyle \int \frac{x}{\sqrt{9-x^2}}~dx$ adalah ...
Jawab:
$ \begin{align} \displaystyle \int \frac{x}{\sqrt{9-x^2}}~dx &= \int \frac{x}{{(9-x^2)^{\frac{1}{2}}}}~dx \end{align}$
Misalkan $u = 9-x^2$, maka $du = -2x ~dx \Leftrightarrow dx = -\frac{du}{2x}$
Sehingga,
$ \begin{align} \int \frac{x}{{(9-x^2)^{\frac{1}{2}}}}~dx &= - \int \frac{x}{{u^{\frac{1}{2}}}}~\frac{du}{2x} \\ &= -\frac{1}{2} \int {u^{-\frac{1}{2}}}~du \\ &= -\frac{1}{2}. 2 {u^{\frac{1}{2}}}+C \\ &= - {u^{\frac{1}{2}}}+C \\ &= - {(9-x^2)^{\frac{1}{2}}}+C \end{align}$
Contoh soal 5
Nilai dari $\displaystyle \int_{0}^{3} \frac{x}{\sqrt{25-x^2}}~dx$ adalah ...
Jawab:
$ \begin{align} \displaystyle \int_{0}^{3} \frac{x}{\sqrt{25-x^2}}~dx &= \int_{0}^{3} \frac{x}{{(25-x^2)}^{\frac{1}{2}}}~dx \end{align}$
Misalkan $u = 25-x^2$, maka $du = -2x ~dx \Leftrightarrow dx = -\frac{du}{2x}$
Sehingga,
$ \begin{align} \displaystyle \int_{0}^{3} \frac{x}{{(25-x^2)}^{\frac{1}{2}}}~dx &= -\int_{0}^{3} \frac{x}{{u}^{\frac{1}{2}}}~\frac{du}{2x} \\ &= - \frac{1}{2} \int_{0}^{3} \frac{1}{{u}^{\frac{1}{2}}}~du \\ &= - (25-x^2)^{\frac{1}{2}} \Bigr|_{0}^{3} \\ &= \left [ - (25-3^2)^{\frac{1}{2}} \right ] - \left [ - (25-0^2)^{\frac{1}{2}} \right ] \\ &= -4+5 \\ &= 1 \end{align}$
Demikianlah beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi integral fungsi aljabar. Semoga bermanfaat.
Referensi:
Tim BBM. 2015. Big Book Matematika SMA Kelas 1, 2, dan 3. Jakarta: Cmedia.