Lompat ke konten Lompat ke sidebar Lompat ke footer

Contoh Soal Integral Fungsi Aljabar beserta Pembahasannya #3

Contoh Soal Integral Fungsi Aljabar beserta Pembahasannya

Hai sob, pada postingan kali ini, mimin sajikan lanjutan beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi integral fungsi aljabar (kelas 11 SMA). Cuss, langsung saja. Berikut contoh-contoh soal dan pembahasannya. Selamat belajar. Semoga bermanfaat.

Contoh soal 1 
Hasil dari $\displaystyle \int  (x^3-x^2-x+5)~dx$ adalah ...
Jawab:
$\begin{align} \displaystyle \int  (x^3-x^2-x+5)~dx   &= \frac{1}{4}x^4-\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2+5x+C  \end{align}$

Contoh soal 2 
Hasil dari $\displaystyle \int_{0}^{2} 3(x+1)(x-6)~dx$ adalah ...
Jawab:
$\begin{aligned} \displaystyle \int_{0}^{2} 3(x+1)(x-6)~dx &= \displaystyle  \int_{0}^{2} 3x^2-15x-18~dx\\  &= \displaystyle x^{3} -\frac{15}{2}x^2-18x \Bigr|_{0}^{2} \\ &= \left [2^{3} -\frac{15}{2}2^2-18.2  \right ] - \left [ 0^{3} -\frac{15}{2}0^2-18.0 \right ] \\  &= 8-\frac{15}{2}.4-36 \\ &= -58  \end{aligned}$

Contoh soal 3 
Nilai $\displaystyle \int_{p}^{4} (3x^2-24x+41)~dx=6$ maka nilai $p$ adalah ...
Jawab:
$\begin{aligned} \displaystyle \int_{p}^{4} (3x^2-24x+41)~dx=6\\ \displaystyle x^{3} -12x^2+41x \Bigr|_{p}^{4}  &= 6  \\ \left [4^{3} -12.4^2+41.4  \right ] - \left [ p^{3} -12p^2+41.p \right ]  &= 6\\ \left [36  \right ] - \left [ p^{3} -12p^2+41p \right ]  &= 6\\ p^{3} -12p^2+41p&=30\\ p^{3} -12p^2+41p-30&=0\\ (p-1)(p-5)(p-6)&=0\\ p=1 \vee p=5 \vee p&=6  \end{aligned}$
Jadi, nilai p yang memenuhi adalah $p=1$

Contoh soal 4
Jika $p$ banyaknya faktor prima dari $42$ dan $q$ akar positif persamaan $3x^2-5x-2=0$, nilai dari $\displaystyle \int_{q}^{p} (5-3x)~dx=...$
Jawab:
$\bullet$ $p=$ banyaknya faktor prima dari $42$ $=\color{red}{3}$
$\bullet$ $q=$ akar positif persamaan $3x^2-5x-2=0$ $=\color{red}{2}$
sehingga didapat

$\begin{aligned} \displaystyle \int_{q}^{p} (5-3x)~dx&= \int_{2}^{3} (5-3x)~dx\\ &= \displaystyle 5x -\frac{3}{2}x^2 \Bigr|_{2}^{3}   \\ &= \left [5.3 -\frac{3}{2}.3^2  \right ] - \left [ 5.2 -\frac{3}{2}.2^2 \right ] \\ &=-\frac{5}{2}\\&= -2\frac{1}{2}   \end{aligned}$

Contoh soal 5
Jika $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x)~dx=2$ dan $\displaystyle \int_{2}^{1} 2f(x)~dx=2$, maka $\displaystyle \int_{0}^{2} f(x)~dx=...$
Jawab:
Dari soal diketahui
$\begin{aligned} & \displaystyle \int_{0}^{1} f(x)~dx=2 \\  \\&\displaystyle \int_{2}^{1} 2f(x)~dx=2\\ &\displaystyle 2 \int_{2}^{1} f(x)~dx=2\\ &\displaystyle  \int_{1}^{2} f(x)~dx=-1   \end{aligned}$

$\begin{aligned} \displaystyle \int_{0}^{2} f(x)~dx &= \int_{0}^{1} f(x)~dx+\int_{1}^{2} f(x)~dx\\ &= 2-1\\ &= 1\end{aligned}$

Contoh soal 6
Diketahui $\displaystyle \int_{a}^{b} \frac{1}{x-1}~dx=c$. Nilai dari $\displaystyle \int_{a}^{b} \frac{x+1}{2(x-1)}~dx=...$
Jawab:
$\begin{aligned} \displaystyle \int_{a}^{b} \frac{x+1}{2(x-1)}~dx&= \frac{1}{2}( \int_{a}^{b} \frac{x+1}{(x-1)})~dx\\ &= \frac{1}{2}( \int_{a}^{b} \frac{x}{(x-1)}~dx+\int_{a}^{b} \frac{1}{(x-1)})~dx\\ &= \frac{1}{2}( \int_{a}^{b} \frac{x-1+1}{(x-1)}~dx+\int_{a}^{b} \frac{1}{(x-1)})~dx \\  &=\frac{1}{2}( \int_{a}^{b} \frac{x-1}{(x-1)}~dx+ \int_{a}^{b} \frac{1}{(x-1)}~dx+\int_{a}^{b} \frac{1}{(x-1)})~dx\\ &=\frac{1}{2}( \displaystyle x \Bigr|_{a}^{b}+c+c)\\ &= \frac{1}{2}( b-a+2c)\\ &=\frac{1}{2}(b-a)+c   \end{aligned}$

Contoh soal 7
Jika $\displaystyle \int_{1}^{4} f(x)~dx=6$ maka $\displaystyle \int_{1}^{4} f(5-x)~dx=...$
Jawab:
$\begin{aligned} \displaystyle \int_{1}^{4} f(x)~dx&=6\\  \displaystyle F(x) \Bigr|_{1}^{4}&=6\\ F(4)-F(1)&=6\\  \\ \displaystyle \int_{1}^{4} f(5-x)~dx&= \displaystyle F(5-x) \Bigr|_{1}^{4} \\ &= F(5-4)-F(5-1)\\ &= F(1)-F(4)\\ &= -(F(4)-F(1))\\ &= -6 \end{aligned}$

Demikianlah beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi integral fungsi aljabar. Semoga bermanfaat. 

Referensi:
Tim BBM. 2015. Big Book Matematika SMA Kelas 1, 2, dan 3. Jakarta: Cmedia.