Contoh Soal Integral Fungsi Aljabar beserta Pembahasannya #3

Hai sob, pada postingan kali ini, mimin sajikan lanjutan beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi integral fungsi aljabar (kelas 11 SMA). Cuss, langsung saja. Berikut contoh-contoh soal dan pembahasannya. Selamat belajar. Semoga bermanfaat.

Contoh soal 1 

Hasil dari ${\displaystyle \int (x^3-x^2-x+5)dx}$ adalah ...

Jawab:

$\begin{array}{rl}{\displaystyle \int (x^3-x^2-x+5)dx}& =\frac{1}{4}{x}^4-\frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{2}{x}^2+5x+C\end{array}$

Contoh soal 2 

Hasil dari ${\displaystyle {\int }_0^{2}3(x+1)(x-6)dx}$ adalah ...

Jawab:

$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^{2}3(x+1)(x-6)dx}& ={\displaystyle {\int }_0^{2}3x^2-15x-18dx}\\ & ={\displaystyle x^3-\frac{15}{2}{x}^2-18x{|}_0^2}\\ & =[2^3-\frac{15}{2}{2}^2-18.2]-[0^3-\frac{15}{2}{0}^2-18.0]\\ & =8-\frac{15}{2}.4-36\\ & =-58\end{array}$

Contoh soal 3 

Nilai ${\displaystyle {\int }_p^4(3x^2-24x+41)dx=6}$ maka nilai $p$ adalah ...

Jawab:

$\begin{array}{r}{\displaystyle {\int }_p^4(3x^2-24x+41)dx=6}\\ {\displaystyle x^3-12x^2+41x{|}_p^4}& =6\\ [4^3-{12.4}^2+41.4]-[p^3-12p^2+41.p]& =6\\ \left[36\right]-[p^3-12p^2+41p]& =6\\ p^3-12p^2+41p& =30\\ p^3-12p^2+41p-30& =0\\ (p-1)(p-5)(p-6)& =0\\ p=1\vee p=5\vee p& =6\end{array}$

Jadi, nilai p yang memenuhi adalah $p=1$

Contoh soal 4

Jika $p$ banyaknya faktor prima dari $42$ dan $q$ akar positif persamaan $3x^2-5x-2=0$, nilai dari ${\displaystyle {\int }_q^p(5-3x)dx=...}$

Jawab:

$\bullet$ $p=$ banyaknya faktor prima dari $42$ $=3$

$\bullet$ $q=$ akar positif persamaan $3x^2-5x-2=0$ $=2$

sehingga didapat

$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_q^p(5-3x)dx}& ={\int }_2^3(5-3x)dx\\ & ={\displaystyle 5x-\frac{3}{2}{x}^2{|}_2^3}\\ & =[5.3-\frac{3}{2}{.3}^2]-[5.2-\frac{3}{2}{.2}^2]\\ & =-\frac{5}{2}\\ & =-2\frac{1}{2}\end{array}$

Contoh soal 5

Jika ${\displaystyle {\int }_0^{1}f(x)dx=2}$ dan ${\displaystyle {\int }_2^{1}2f(x)dx=2}$, maka ${\displaystyle {\int }_0^{2}f(x)dx=...}$

Jawab:

Dari soal diketahui

$\begin{array}{rl}& {\displaystyle {\int }_0^{1}f(x)dx=2}\\ \\ & {\displaystyle {\int }_2^{1}2f(x)dx=2}\\ & {\displaystyle 2{\int }_2^{1}f(x)dx=2}\\ & {\displaystyle {\int }_1^{2}f(x)dx=-1}\end{array}$

$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^{2}f(x)dx}& ={\int }_0^{1}f(x)dx+{\int }_1^{2}f(x)dx\\ & =2-1\\ & =1\end{array}$

Contoh soal 6

Diketahui ${\displaystyle {\int }_a^b\frac{1}{x-1}dx=c}$. Nilai dari ${\displaystyle {\int }_a^b\frac{x+1}{2(x-1)}dx=...}$

Jawab:

$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_a^b\frac{x+1}{2(x-1)}dx}& =\frac{1}{2}({\int }_a^b\frac{x+1}{(x-1)})dx\\ & =\frac{1}{2}({\int }_a^b\frac{x}{(x-1)}dx+{\int }_a^b\frac{1}{(x-1)})dx\\ & =\frac{1}{2}({\int }_a^b\frac{x-1+1}{(x-1)}dx+{\int }_a^b\frac{1}{(x-1)})dx\\ & =\frac{1}{2}({\int }_a^b\frac{x-1}{(x-1)}dx+{\int }_a^b\frac{1}{(x-1)}dx+{\int }_a^b\frac{1}{(x-1)})dx\\ & =\frac{1}{2}({\displaystyle x{|}_a^b+c+c)}\\ & =\frac{1}{2}(b-a+2c)\\ & =\frac{1}{2}(b-a)+c\end{array}$

Contoh soal 7

Jika ${\displaystyle {\int }_1^{4}f(x)dx=6}$ maka ${\displaystyle {\int }_1^{4}f(5-x)dx=...}$

Jawab:

$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_1^{4}f(x)dx}& =6\\ {\displaystyle F(x){|}_1^4}& =6\\ F(4)-F(1)& =6\\ \\ {\displaystyle {\int }_1^{4}f(5-x)dx}& ={\displaystyle F(5-x){|}_1^4}\\ & =F(5-4)-F(5-1)\\ & =F(1)-F(4)\\ & =-(F(4)-F(1))\\ & =-6\end{array}$

Demikianlah beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi integral fungsi aljabar. Semoga bermanfaat. 

Referensi:

Tim BBM. 2015. Big Book Matematika SMA Kelas 1, 2, dan 3. Jakarta: Cmedia.