Contoh Soal Suku Banyak beserta Pembahasannya #2
Hai sob, jumpa lagi dengan postingan mimin, kali ini dengan pokok bahasan materi suku banyak matematika SMA (kelas 11). Cuss, langsung saja. Berikut contoh-contoh soal beserta pembahasannya. Selamat belajar. Semoga bermanfaat.
Contoh soal 1
Sisa pembagian suku banyak $(x^{4}-4x^{3}+3x^{2}-2x+1)$ oleh $(x^{2}-x-2)$ adalah ...
Jawab:
Soal diatas dapat diselesaikan diantaranya dengan teorema sisa 3
"Sisa pembagian polinomial $f(x)$ oleh $(x-a)(x-b)$ adalah $s=px+q$ dengan $f(a)=p(a)+q$ dan $f(b)=p(b)+q$"
Pembagi $(x^{2}-x-2)$ dapat difaktorkan menjadi $(x-2)(x+1)$. Sehingga dapat diperoleh
$\begin{aligned} f(a)&=p(a)+q\\ f(2)&=p(2)+q\\ 2^{4}-4.2^{3}+3.2^{2}-2.2+1&=2p+q\\ -7&=2p+q\\ 2p+q&=-7 ...(1)\\ \\ f(b)&=p(b)+q\\ f(-1)&=p(-1)+q\\ (-1)^{4}-4.(-1)^{3}+3.(-1)^{2}-2.(-1)+1&=-p+q\\ 11&=-p+q\\ -p+q&=11 ...(2) \end{aligned}$
Mencari nilai p dan q dari pers (1) dan pers (2)
$\begin{aligned} & 2p+q=-7\\ & -p+q=11\\ & \rule{3.5 cm}{0.4pt} - \\ & 3p=-18\\&p=-6 \end{aligned}$
Substitusi nilai $p=-6$ ke pers $(2)$
$\begin{aligned} -p+q&=11 \\ -(-6)+q&=11\\6+q&=11\\ q&=5 \end{aligned}$
Jadi, sisa pembagiannya adalah
$\begin{aligned} s&=px+q\\ &=-6x+5 \end{aligned}$
Contoh soal 2
Suatu suku banyak dibagi $(x-5)$ sisanya $13$, sedangkan jika dibagi $(x-1)$ sisanya $5$. Suku banyak tersebut jika dibagi dengan $(x^{2}-6x+5)$ sisanya adalah ...
Jawab:
Misalkan suku banyak tersebut adalah $f(x)$. Sehingga diketahui
$\begin{aligned} f(5) &= 13\\ f(1) &= 5 \end{aligned}$
Pembagi $(x^{2}-6x+5)$ dapat difaktorkan menjadi $(x-5)(x-1)$.
Berdasarkan teorema sisa 3, soal diatas dapat diselesaikan sebagai berikut
$\begin{aligned} f(a)&=p(a)+q\\ f(5)&=p(5)+q\\ 13&=5p+q\\ 5p+q&=13 ...(1)\\ \\f(b)&=p(b)+q\\ f(1)&=p(1)+q\\ 5&=p+q\\ p+q&=5 ...(2) \end{aligned}$
Mencari nilai p dan q dari pers (1) dan pers (2)
$\begin{aligned} & 5p+q=13\\ & p+q=5\\ & \rule{3.5 cm}{0.4pt} - \\ & 4p=8\\&p=2 \end{aligned}$
Substitusi nilai $p=2$ ke pers $(2)$
$\begin{aligned} p+q&=5 \\ 2+q&=5\\q&=3 \end{aligned}$
Jadi, sisa pembagiannya adalah
$\begin{aligned} s&=px+q\\ &=2x+3 \end{aligned}$
Contoh soal 3
Diketahui $(x+1)$ salah satu faktor dari suku banyak $f(x) = 2x^{4}-2x^{3}+px^{2}-x-2$, faktor-faktor yang lain adalah ...
Jawab:
Karena $(x+1)$ faktor dari suku banyak $f(x) = 2x^{4}-2x^{3}+px^{2}-x-2$ maka dapat diperoleh $f(-1)=0$. Sehingga
$\begin{aligned} f(-1) &= 2(-1)^{4}-2(-1)^{3}+p(-1)^{2}-(-1)-2\\ 0 &= 2+2+p+1-2\\0 &= p+3\\p&=-3 \end{aligned}$
Jadi, bentuk suku banyaknya adalah $f(x) = 2x^{4}-2x^{3}-3x^{2}-x-2$
$\begin{array}{c|cccc} x = -1 & 2 & -2 & -3 & -1 & -2 \\ & \downarrow & -2 & 4 & -1&2 \\ \hline x = 2 & 2 & -4 & 1&-2 & \fbox{0} \\ & \downarrow & 4 & 0 & 2 \\ \hline & 2 &0 & 1 & \fbox{0} \end{array}$
Jadi, faktor-faktor yang lain adalah $(x-2)$ dan $(2x^2+1)$
Contoh soal 4
Jika suku banyak $f(x) = 2x^{4}+ax^{3}-3x^{2}+5x+b$ dibagi oleh $(x^2-1)$ memberi sisa $6x+5$ maka nilai dari $a.b$ adalah ...
Jawab:
Pembagi $(x^2-1)$ dapat difaktorkan menjadi $(x-1)(x+1)$.
Berdasarkan teorema sisa 3, soal diatas dapat diselesaikan sebagai berikut
Dari sisa pembagian $6x+5$ diketahui $p=6$ dan $q=5$
Dari pembagi $(x-1)$ dan $(x+1)$ dapat diperoleh
$\begin{aligned} f(a)&=p(a)+q\\ f(1)&=6(1)+5\\ 2(1)^{4}+a(1)^{3}-3(1)^{2}+5(1)+b&=11\\ a+b+4&=11\\ a+b&=7 ...(1)\\ \\f(b)&=p(b)+q\\ f(-1)&=6(-1)+5\\ 2(-1)^{4}+a(-1)^{3}-3(-1)^{2}+5(-1)+b&=-1\\ -a+b-6&=-1\\ a-b&=-5 ...(2) \end{aligned}$
Mencari nilai a dan b dari pers (1) dan pers (2)
$\begin{aligned} & a+b=7\\ & a-b=-5\\ & \rule{3.5 cm}{0.4pt} - \\ & 2b=12\\&b=6 \end{aligned}$
Substitusi nilai $b=6$ ke pers $(1)$
$\begin{aligned} a+b&=7 \\ a+6&=7\\a&=1 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $a.b=1.6=6$
Contoh soal 5
Hasil bagi dan sisa pembagian dari $(4x^{3}-3x^{2}+2x-1) : (x-2)$ adalah ...
Jawab:
Penyelesaian soal dengan cara horner
$\begin{array}{c|cccc} \text{x = 2} & 4 & -3 & 2 & -1 \\ & \downarrow & 8 & 10 & 24 \\ \hline & \color{red}{4} & \color{red}{5} & \color{red}{12} & \color{blue}{23} \end{array}$
Jadi, hasil bagi dari $(4x^{3}-3x^{2}+2x-1) : (x-2)$ adalah $4x^{2}+5x+12$ dan sisanya adalah $23$
Contoh soal 6
Jika $x^2+x-6$ adalah faktor dari $F(x) = x^{4}+5x^{3}+ax^{2}-22x+b$ maka nilai a dan b adalah ...
Jawab:
Pembagi $x^2+x-6$ dapat difaktorkan menjadi $(x-2)(x+3)$.
Karena $(x-2)$ dan $(x+3)$ adalah faktor maka
$\begin{aligned} f(2) &= 0\\ f(-3) &= 0 \end{aligned}$
$\begin{aligned} f(2)&=0\\ 2^{4}+5(2)^{3}+a(2)^{2}-22(2)+b&=0\\ 16 + 40 + 4a -44 + b&=0\\ 4a+b&=-12 ...(1)\\ \\f(-3)&=0\\ (-3)^{4}+5(-3)^{3}+a(-3)^{2}-22(-3)+b&=0\\ 81-135+9a+66+b&=0\\ 9a+b&=-12 ...(2) \end{aligned}$
Mencari nilai a dan b dari pers (1) dan pers (2)
$\begin{aligned} & 4a+b=-12\\ & 9a+b=-12\\ & \rule{3.5 cm}{0.4pt} - \\ & -5a=0\\ &a=0 \end{aligned}$
Substitusi nilai $a=0$ ke pers $(1)$
$\begin{aligned} 4a+b&=-12 \\ 0+b&=-12\\b&=-12 \end{aligned}$
Jadi, nilai $a$ dan $b$ berturut-turut adalah $0$ dan $-12$
Contoh soal 7
Suku banyak $f(x) = 3x^{3}-4x^{2}-6x+k$ habis dibagi $(x-2)$. Sisa pembagian $f(x)$ oleh $x^2+3x+2$ adalah ...
Jawab:
Karena $P(x) = 3x^{3}-4x^{2}-6x+k$ habis dibagi $(x-2)$ maka $f(2)=0$
$\begin{aligned} f(2)&=0\\ f(2) &= 0\\ 3(2)^{3}-4(2)^{2}-6(2)+k&=0\\ 24-16-12+k&=0\\k&=4 \end{aligned}$
Jadi, bentuk suku banyaknya adalah $f(x) = 3x^{3}-4x^{2}-6x+4$
Pembagi $x^2+3x+2$ dapat difaktorkan menjadi $(x+1)(x+2)$. Sehingga soal bisa diselesaikan dengan teorema sisa 3.
$\begin{aligned} f(a)&=p(a)+q\\ f(-1)&=p(-1)+q\\ 3&=-p+q\\ -p+q&=3 ...(1)\\ \\f(b)&=p(b)+q\\ f(-2)&=p(-2)+q\\ -24&=-2p+q\\ -2p+q&=-24 ...(2) \end{aligned}$
Mencari nilai p dan q dari pers (1) dan pers (2)
$\begin{aligned} & -p+q=3\\ & -2p+q=-24\\ & \rule{3.5 cm}{0.4pt} - \\ & p=27 \end{aligned}$
Substitusi nilai $p=27$ ke pers $(1)$
$\begin{aligned} -p+q&=3 \\ -27+q&=3\\q&=30 \end{aligned}$
Jadi, sisa pembagiannya adalah
$\begin{aligned} s&=px+q\\ &=27x+30 \end{aligned}$
Contoh soal 8
Jika suku banyak $2x^{3}-x^{2}+ax+7$ dan suku banyak $x^{3}-3x^{2}-4x-1$ dibagi dengan $(x+1)$ akan diperoleh sisa yang sama maka nilai dari a adalah ...
Jawab:
Soal diatas dapat diselesaikan diantaranya dengan teorema sisa 1
"Sisa pembagian polinomial $f(x)$ oleh $(x-k)$ adalah $s=f(k)$"
Untuk suku banyak $x^{3}-3x^{2}-4x-1$ dapat berlaku $s=f(k)$. Sehingga sisa pembagian suku banyak tersebut adalah $f(-1)$
$\begin{aligned} f(-1) &= (-1)^{3}-3(-1)^{2}-4(-1)-1\\ &= -1-3+4-1\\&=-1 \end{aligned}$
Karena sisa pembagian suku banyak $2x^{3}-x^{2}+ax+7$ dan suku banyak $x^{3}-3x^{2}-4x-1$ dibagi dengan $(x+1)$ diperoleh sisa yang sama maka
$\begin{aligned} f(-1) &= 2x^{3}-x^{2}+ax+7\\ -1 &= 2(-1)^{3}-(-1)^{2}+a(-1)+7\\ -1&= -2-1-a+7\\ -1&=4-a\\a&=5 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari a adalah $5$
Contoh soal 9
Jika $f(x) = (2x^2-3x)(x^{3}-3x^{2}-4x-1)$ maka koefisien dari $x^4$ adalah ...
Jawab:
Dari soal, yang mungkin menghasilkan $x^4$ adalah
$2x^2.-3x^{2}= -6x^4$ dan $-3x.x^3=-3x^4$
Jadi, koefisien $x^4 = -6-3=-9$
Contoh soal 10
Suatu suku banyak $f(x)$ dibagi oleh $(x-1)$ sisanya adalah $10$ dan dibagi oleh $(x-2)$ sisanya adalah $11$. Jika $f(x)$ dibagi oleh $(x^2-3x+2)$ maka sisanya adalah ...
Jawab:
Dari soal diatas diketahui bahwa
$\begin{aligned} f(1) &= 10\\ f(2) &= 11 \end{aligned}$
Pembagi $(x^2-3x+2)$ dapat difaktorkan menjadi $(x-2)(x-1)$.
Berdasarkan teorema sisa 3, soal diatas dapat diselesaikan sebagai berikut
$\begin{aligned} f(a)&=p(a)+q\\ f(2)&=p(2)+q\\ 11&=2p+q\\ 2p+q&=11 ...(1)\\ \\f(b)&=p(b)+q\\ f(1)&=p(1)+q\\ 10&=p+q\\ p+q&=10 ...(2) \end{aligned}$
Mencari nilai p dan q dari pers (1) dan pers (2)
$\begin{aligned} & 2p+q=11\\ & p+q=10\\ & \rule{3.5 cm}{0.4pt} - \\ & -p=-1\\&p=1 \end{aligned}$
Substitusi nilai $p=1$ ke pers $(2)$
$\begin{aligned} p+q&=10 \\ 1+q&=10\\q&=9 \end{aligned}$
Jadi, sisa pembagiannya adalah
$\begin{aligned} s&=px+q\\ &=x+9 \end{aligned}$
Demikianlah beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi suku banyak matematika SMA (kelas 11). Semoga bermanfaat.
Referensi
Suyatno. 2010. Jujitsu (Jurus Jitu Taklukkan Soal Ujian) Matematika SMA. Jakarta: Media Pusindo.