Contoh Soal Suku Banyak beserta Pembahasannya #3
Hai sob, pada postingan kali ini, mimin sajikan lanjutan beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi suku banyak (kelas 11 SMA). Cuss, langsung saja. Berikut contoh-contoh soal dan pembahasannya. Selamat belajar. Semoga bermanfaat.
Contoh soal 1
Diketahui $g(x)=ax^2-bx+a-b$ habis dibagi $x-1$. Jika $f(x)$ adalah suku banyak yang bersisa $a$ ketika dibagi $x-1$ dan bersisa $3ax+b^2+1$ bila dibagi $g(x)$, maka nilai $a$ adalah ...
Jawab:
$g(x)=ax^2-bx+a-b$ habis dibagi $x-1$ sehingga dapat diperoleh
$\begin{aligned} g(1)&=0\\ a(1)^2-b(1)+a-b&=0\\ a-b+a-b&=0\\ 2a-2b&=0 \\ 2a&=2b...(1) \end{aligned}$
$f(x)$ dibagi $x-1$ bersisa $a$ sehingga dapat diperoleh $f(1)=a$
$f(x)$ dibagi $g(x)$ bersisa $3ax+b^2+1$ sehingga dapat diperoleh
$\begin{aligned} \text{f(x)}&= \text{pembagi} . \text{hasil bagi} + \text{sisa bagi}\\ f(x)&= (ax^2-bx+a-b) . \text{hasil bagi} + 3ax+b^2+1\\ f(1)&= 0 + 3a(1)+b^2+1\\ a&=3a+b^2+1 \text{ (substitusi f(1)=a)} \\ 2a+b^2+1&=0 \\ b^2+2b+1&=0 \text{ (substitusi 2a=2b)}\\ (b+1)(b+1)&=0\\ b=-1 \vee b&=-1 \end{aligned}$
Substitusi nilai $b=-1$ ke pers $(1)$
$\begin{aligned} 2a&=2b\\ 2a&=-2\\a&=-1 \end{aligned}$
Jadi, nilai $a$ adalah $-1$
Contoh soal 2
Diketahui suku banyak $f(x)$ bersisa $-2$ bila dibagi $(x+1)$ dan bersisa $3$ bila dibagi $(x-2)$. Suku banyak $g(x)$ bersisa $3$ bila dibagi $x+1$ dan bersisa $2$ bila dibagi $x-2$. Jika $h(x)=f(x).g(x)$, maka sisa $h(x)$ bila dibagi $x^2-x-2$ adalah ...
Jawab:
Dari soal dapat diketahui
$\begin{aligned} f(-1)&=-2\\ f(2)&=3\\ \\g(-1)&=3\\ g(2)&=2 \end{aligned}$
Pembagi $x^2-x-2$ dapat difaktorkan menjadi $(x-2)(x+1)$. Sehingga soal bisa diselesaikan dengan teorema sisa 3.
$\begin{aligned} h(a)&=p(a)+q\\ h(2)&=p(2)+q\\ f(2).g(2)&=2p+q\\ 2p+q&=6 ...(1)\\ \\h(b)&=p(b)+q\\ h(-1)&=p(-1)+q\\ f(-1).g(-1)&=-p+q\\ -p+q&=-6 ...(2) \end{aligned}$
Mencari nilai p dan q dari pers (1) dan pers (2)
$\begin{aligned} & 2p+q=6\\ & -p+q=-6\\ & \rule{3.5 cm}{0.4pt} - \\ & 3p=12\\ & p=4 \end{aligned}$
Substitusi nilai $p=4$ ke pers $(1)$
$\begin{aligned} 2p+q&=6 \\ 8+q&=6\\q&=-2 \end{aligned}$
Jadi, sisa pembagiannya adalah
$\begin{aligned} s&=px+q\\ &=4x-2 \end{aligned}$
Contoh soal 3
Diketahui suku banyak $g(x)=ax^2-bx-(a+b)$ habis dibagi $x-4$ dan salah satu akar persamaan suku banyak $f(x)=0$ adalah $4$. Jika $f(x)$ dibagi $g(x)$ sisanya $ax+b-2$ maka nilai $a$ adalah ...
Jawab:
$g(x)=ax^2-bx-(a+b)$ habis dibagi $x-4$ sehingga dapat diperoleh
$\begin{aligned} g(4)&=0\\ a(4)^2-b(4)-(a+b)&=0\\ 16a-4b-a-b&=0\\ 15a-5b&=0 ...(1) \end{aligned}$
Salah satu akar $f(x)$ adalah $4$ sehingga dapat diperoleh $f(4)=0$
$f(x)$ dibagi $g(x)$ bersisa $ax+b-2$ sehingga dapat diperoleh
$\begin{aligned} \text{f(x)}&= \text{pembagi} . \text{hasil bagi} + \text{sisa bagi}\\ f(x)&= (ax^2-bx-(a+b)) . \text{hasil bagi} + (ax+b-2)\\ f(4)&= 0 + 4a+b-2\\ 0&=4a+b-2 \text{ (substitusi f(4)=0)} \\ 4a+b&=2 ...(2) \end{aligned}$
Eliminasi pers (1) dan (2)
$\begin{aligned} & 15a-5b=0\\ & 20a+5b=10\\ & \rule{3.5 cm}{0.4pt} - \\ & 35a=10 \\ & a=\frac{10}{35} \\ & a=\frac{2}{7} \end{aligned}$
Jadi, nilai $a$ adalah $\frac{2}{7}$
Contoh soal 4
Diketahui suku banyak $P(x)=x^4+2x^3-9x^2-2x+k$ habis dibagi $x-2$. Jika $P(x)$ dibagi $x-1$ sisanya adalah ...
Jawab:
Karena $(x-2)$ membagi habis suku banyak maka $f(2)=0$
$\begin{aligned} f(2)&=0\\ (2)^4+2(2)^3-9(2)^2-2.2+k&=0\\ 16+16-36-4+k&=0\\ -8+k&=0 \\k&=8 \end{aligned}$
Jadi, bentuk suku banyaknya adalah $P(x)=x^4+2x^3-9x^2-2x+8$
Sehingga sisa pembagian $P(x)$ oleh $(x-1)$ adalah sebagai berikut
$\begin{array}{c|cccc} \text{x = 1} & 1 & 2 & -9 & -2 & 8 \\ & \downarrow & 1 & 3 &-6 & -8 \\ \hline & \color{red}{1} & \color{red}{3} & \color{red}{-6} & \color{red}{-8} & \color{blue}{0} \end{array}$
Jadi, sisa pembagiannya adalah $0$
Contoh soal 5
Salah satu faktor suku banyak $f(x)=x^3+kx^2+x-3$ adalah $x-1$. Faktor yang lain adalah ...
Jawab:
Karena $(x-1)$ faktor dari suku banyak maka $f(1)=0$
$\begin{aligned} f(1)&=0\\ (1)^3+k(1)^2+1-3&=0\\ 1+k-2&=0\\k&=1 \end{aligned}$
Jadi, bentuk suku banyaknya adalah $f(x)=x^3+x^2+x-3$
Sehingga dapat diperoleh faktor yang lain adalah sebagai berikut
$\begin{array}{c|cccc} \text{x = 1} & 1 & k & 1 & -3 \\ & \downarrow & 1 & 2 &3 \\ \hline & \color{red}{1} & \color{red}{2} & \color{red}{3} & \color{blue}{0} \end{array}$
Jadi, faktor yang lain adalah $x^2+2x+3$
Contoh soal 6
Suku banyak berderajat 3, jika dibagi $(x^2+2x-3)$ bersisa $(3x-4)$, jika dibagi $(x^2-x-2)$ bersisa $(2x+3)$. Suku banyak tersebut adalah ...
Jawab:
Diketahui suku banyak berderajat 3, jika dibagi $(x^2+2x-3)$ bersisa $(3x-4)$ sehingga
$\begin{aligned} \text{f(x)}&= \text{pembagi} . \text{hasil bagi} + \text{sisa bagi}\\ f(x)&= (x^2+2x-3) . \text{hasil bagi} + (3x-4)\\ f(x)&= (x+3)(x-1) . \text{hasil bagi} + (3x-4) \\ f(1)&= 0 + (3(1)-4)\\ f(1)&=-1 ...(2) \end{aligned}$
Kemudian jika dibagi $(x^2-x-2)$ bersisa $(2x+3)$. Misalkan hasil baginya $(x+p)$ maka dapat diperoleh
$\begin{aligned} \text{f(x)}&= \text{pembagi} . \text{hasil bagi} + \text{sisa bagi}\\ f(x)&= (x^2-x-2) . (x+p) + (2x+3) \\ f(1)&= (1-2)(1+1) . (1+p) + (2.1+3) \\ -1&= -2 (1+p)+5\\ -1&=-2-2p+5\\ 2p &= 4\\ p&=2 \end{aligned}$
Sehingga didapat suku banyaknya adalah sebagai berikut
$\begin{aligned} f(x)&= (x^2-x-2) . (x+p) + (2x+3)\\ f(x)&= (x^2-x-2) . (x+2) + (2x+3) \\ f(x)&= x^3-x^2-2x+2x^2-2x-4 + 2x+3\\ f(x)&= x^3+x^2-2x-1 \end{aligned}$
Contoh soal 7
Nilai $m-n$ yang mengakibatkan $f(x)=x^4-6ax^3+8a^2x^2-ma^3x+na^4$ habis dibagi $(x-a)^2$ adalah ...
Jawab:
Karena $(x-a)^2$ membagi habis suku banyak maka berlaku $f(a)=0$
$\begin{aligned} f(x)&=x^4-6ax^3+8a^2x^2-ma^3x+na^4\\ f(a)&=a^4-6a(a)^3+8a^2(a)^2-ma^3(a)+na^4\\ 0&=a^4-6a^4+8a^4-ma^4+na^4\\ 0&=3a^4-ma^4+na^4\\ ma^4-na^4&=3a^4\\ (m-n)a^4&=3a^4 \end{aligned}$
Dari bentuk terakhir diatas dapat diketahui bahwa $m-n=3$
Contoh soal 8
Fungsi $f(x)$ dibagi $(x-1)$ sisanya $3$ sedangkan jika dibagi $(x-2)$ sisanya $4$. Jika $f(x)$ dibagi $x^2-3x+2$, maka sisanya adalah ...
Jawab:
Dari soal dapat diketahui
$\begin{aligned} f(1)&=3\\ f(2)&=4 \end{aligned}$
Pembagi $x^2-3x+2$ dapat difaktorkan menjadi $(x-2)(x-1)$. Sehingga soal bisa diselesaikan dengan teorema sisa 3.
$\begin{aligned} f(a)&=p(a)+q\\ f(2)&=p(2)+q\\ 4&=2p+q\\ 2p+q&=4 ...(1)\\ \\f(b)&=p(b)+q\\ f(1)&=p(1)+q\\ 3&=p+q\\ p+q&=3 ...(2) \end{aligned}$
Mencari nilai p dan q dari pers (1) dan pers (2)
$\begin{aligned} & 2p+q=4\\ & p+q=3\\ & \rule{3.5 cm}{0.4pt} - \\ & p=1 \end{aligned}$
Substitusi nilai $p=1$ ke pers $(2)$
$\begin{aligned} p+q&=3 \\ 1+q&=3\\q&=2 \end{aligned}$
Jadi, sisa pembagiannya adalah
$\begin{aligned} s&=px+q\\ &=x+2 \end{aligned}$
Contoh soal 9
Suku banyak $f(x)=x^3+ax^2-bx-5$ dibagi dengan $(x-2)$ memberikan hasil bagi $x^2+4x+11$ dan sisa $17$. Nilai $a+b=...$
Jawab:
Berdasarkan konsep pembagian suku banyak oleh $(x-k)$ dapat diperoleh
$\begin{aligned} f(x)&=(x-2). h(x)+s(x)\\ x^3+ax^2-bx-5&=(x-2).(x^2+4x+11)+17\\ x^3+ax^2-bx-5&=x^3+4x^2+11x-2x^2-8x-22+17\\ x^3+ax^2-bx-5&=x^3+2x^2+3x-5 \end{aligned}$
Dari bentuk terakhir diatas dapat diketahui bahwa $a=2$ dan $b=-3$ sehingga $a+b=2-3=-1$
Contoh soal 10
Salah satu akar persamaan $x^4-5x^3+5x^2+5x-6=0$ adalah $2$. Jumlah akar-akar yang lain persamaan tersebut adalah ...
Jawab:
Soal diatas jika diselesaikan dengan cara horner adalah sebagai berikut
$\begin{array}{c|cccc} x = 2 & 1 & -5 & 5 & 5 & -6 \\ & \downarrow & 2 & -6 & -2&6 \\ \hline x = 1 & 1 & -3 & -1&3 & \fbox{0} \\ & \downarrow & 1 & -2 & -3 \\ \hline x=-1 & 1 &-2 & -3 & \fbox{0}\\ & \downarrow & -1 & 3\\ \hline x=3 & 1 &-3 & \fbox{0}\\ & \downarrow & 3\\ \hline &1 &\fbox{0} \end{array}$
Jadi, jumlah akar-akar yang lain adalah $1+(-1)+3=3$
Demikianlah beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi suku banyak (kelas 11 SMA). Semoga bermanfaat.
Referensi
Yusuf, Muhammad. 2013. Pendalaman Materi Kilat Matematika IPA SMA/MA Kelas 10, 11, 12. Jakarta: Dunia Cerdas.
