Contoh Soal Materi Barisan dan Deret Bilangan SMP beserta Pembahasannya

Contoh Soal dan Pembahasan Materi Barisan dan Deret Bilangan SMP

Hai sob, jumpa lagi pada postingan di blog Mathematic Inside. Kali ini akan disajikan beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi barisan dan deret bilangan SMP. Selamat belajar. Semoga bermanfaat.

Contoh soal 1

Hitunglah jumlah semua bilangan asli kelipatan $3$ yang kurang dari $100$.

Jawab:

Bilangan asli kelipatan $3$ yang kurang dari $100$ adalah $3, 6, 9, ..., 99$

Sehingga diperoleh $a=3$, $b=3$, dan $U_{n}=99$

Mencari $n$ :

$\begin{aligned} U_{n} &= a+(n-1)b \\ 99 &= 3+(n-1)3 \\ 3n &= 99 \\ n &= 33 \end{aligned}$

Jumlah dari deret tersebut adalah

$\begin{aligned} S_{n} &= \frac{1}{2}n(a+U_{n}) \\ S_{33}&= \frac{1}{2}.33(3+99) \\ &= \frac{1}{2}.33.102 \\ &= 1683 \end{aligned}$

Jadi, jumlah semua bilangan asli kelipatan $3$ yang kurang dari $100$ adalah $1683$

Contoh soal 2

Tentukan jumlah bilangan bulat antara $200$ dan $900$ yang habis dibagi $6$

Jawab:

Jumlah bilangan bulat antara $200$ dan $900$ yang habis dibagi $6$ adalah $204+210+216+222+ ... +894$

Deret bilangan diatas merupakan deret aritmetika dengan

$a = 204, b = 6,$ dan $U_{n}=894$ sehingga

$\begin{aligned} U_{n} &= a+(n-1)b \\ 894 &= 204+(n-1)6 \\ 6n &= 894-198 \\ 6n &= 696 \\ n &= 116 \end{aligned}$

Jumlah dari deret tersebut adalah

$\begin{aligned} S_{n} &= \frac{1}{2}n(a+U_{n}) \\ S_{116}&= \frac{1}{2}.116(204+894) \\ &= \frac{1}{2}.116.1098 \\ &= 63684 \end{aligned}$

Jadi, jumlahnya adalah $63684$

Contoh soal 3

Jumlah $n$ suku pertama suatu deret aritmetika dirumuskan dengan $S_n=3n^2-2n$. Tentukanlah suku ke-$n$ deret tersebut

Jawab:

Jumlah $n$ suku pertama adalah $S_n=3n^2-2n$

Jumlah $(n-1)$ suku pertama adalah

$\begin{aligned} S_n-1 &= 3(n-1)^2-2(n-1)\\ &= 3(n^2-2n+1)-2(n-1)\\ &= 3n^2-6n+3-2n+2\\ &= 3n^2-8n+5 \end{aligned}$

Sehingga suku ke-$n$ deret tersebut dapat diperoleh sebagai berikut

$\begin{aligned} U_n &= S_n - S_n-1\\ &= (3n^2-2n)- (3n^2-8n+5)\\ &= 3n^2-2n -3n^2+8n-5\\ &= 6n-5 \end{aligned}$

Jadi, suku ke-$n$ deret tersebut adalah $U_n=6n-5$

Contoh soal 4

Jumlah $n$ suku pertama suatu deret geometri dirumuskan dengan $S_n=\frac{9}{2}(3^{n}-1)$. Tentukanlah suku ke-$n$ deret tersebut

Jawab:

$S_n=\frac{9}{2}(3^{n}-1)$ maka

$\begin{aligned} S_n-1&=\frac{9}{2}(3^{n-1}-1)\\ &= \frac{9}{2}(\frac{3^n}{3}-1)\\ &= \frac{9}{2}.\frac{3^n-3}{3} \end{aligned}$

Sehingga suku ke-$n$ deret tersebut dapat diperoleh sebagai berikut

$\begin{aligned} U_n &= S_n - S_n-1\\ &= \frac{9}{2}(3^{n}-1) - (\frac{9}{2}.\frac{3^n-3}{3})\\ &= \frac{9}{2}((3^{n}-1)-(\frac{3^n-3}{3}))\\ &= \frac{9}{2}.\frac{3(3^{n}-1)-(3^n-3)}{3}\\ &= \frac{9}{2}.\frac{3.3^n-3^n}{3}\\ &= \frac{9}{2}.\frac{3^n(3-1)}{3}\\ &= \frac{9}{2}. \frac{3^n.2}{3}\\ &= 3. 3^n\\&= 3^{n+1} \end{aligned}$

Jadi, suku ke-$n$ deret tersebut adalah $U_n=3^{n+1}$

Contoh soal 5

Pak Badui membeli mobil baru seharga $Rp 100.000.000$. Mobil tersebut mengalami depresiasi (penurunan harga jual) sebesar $10 \%$ pada setiap akhir 1 tahun. Berapa rupiah harga jual mobil tersebut pada akhir tahun kesembilan?

Jawab:

Dari soal diatas diketahui bahwa harga mobil baru adalah Rp 100.000.000 dan depresiasi sebesar $10 \%$ atau $0,1$ setiap akhir 1 tahun

Misal, harga mobil baru adalah $a=100.000.000$ sehingga dapat diperoleh

$\bullet$ Harga jual mobil pada akhir tahun kesatu adalah

$\begin{aligned} U_2&= 100.000.000-0,1(100.000.000)\\ &= 100.000.000(1-0,1)\\ &= 100.000.000 \times (0,9) \end{aligned}$

$\bullet$ Harga jual mobil pada akhir tahun kedua adalah

$\begin{aligned} U_3&= 100.000.000 \times (0,9)-0,1(100.000.000 \times (0,9))\\ &= 100.000.000 \times (0,9)(1-0,1)\\ &= 100.000.000 \times (0,9)^2 \end{aligned}$

$\bullet$ Harga jual mobil pada akhir tahun ketiga adalah

$\begin{aligned} U_4&= 100.000.000 \times (0,9)^2-0,1(100.000.000 \times (0,9)^2)\\ &= 100.000.000 \times (0,9)^2(1-0,1)\\ &= 100.000.000 \times (0,9)^3 \end{aligned}$

Dengan demikian, diperoleh barisan berikut

$a, U_2, U_3, U_4,...$

$100.000.000, 100.000.000 \times (0,9), 100.000.000 \times (0,9)^2, 100.000.000 \times (0,9)^3,...$

Terlihat bahwa barisan diatas adalah barisan geometri dengan suku pertama $100.000.000$ dan rasio $0,9$ maka dapat diperoleh harga jual mobil pada akhir tahun kesembilan adalah

$\begin{aligned} U_8&=100.000.000 \times (0,9)^{8-1}\\ &= 100.000.000 \times (0,9)^7\\ &= 47.829.690 \end{aligned}$

Jadi, harga jual mobil pada akhir tahun kesembilan adalah $Rp47.829.690$

Contoh soal 6

Carilah $x$ sehingga $x+3, 2x+1,$ dan $5x+2$ adalah bilangan berurutan yang memenuhi barisan aritmetika

Jawab:

$\bullet$ Mencari beda pada barisan aritmetika diatas

$\begin{aligned} b_1&= 2x+1-(x+3)\\ &= x-2 \end{aligned}$

$\begin{aligned} b_2&= 5x+2-(2x+1)\\ &= 3x+1 \end{aligned}$

Karena $b_1 = b_2$ maka

$\begin{aligned} b_1&=b_2\\ x-2 &= 3x+1\\ 2x &= -3 \\x&= -\frac{3}{2} \end{aligned}$

Jadi, nilai x yang memenuhi adalah $-\frac{3}{2}$

Contoh soal 7

Tentukan nilai $t$ agar barisan $t-2, t+1, 3t+3$ menjadi barisan geometri dengan $t>0$

Jawab:

$\bullet$ Mencari rasio pada barisan geometri diatas

$\begin{aligned} r_1&=\frac{t+1}{t-2} \end{aligned}$

$\begin{aligned} r_2&=\frac{3t+3}{t+1} \end{aligned}$

Karena $r_1=r_2$ maka

$\begin{aligned} r_1&=r_2\\ \frac{t+1}{t-2}&=\frac{3t+3}{t+1}\\ (t+1)^2&=(3t+3)(t-2)\\ t^2+2t+1&=3t^2-6t+3t-6\\ t^2+2t+1&=3t^2-3t-6\\ 2t^2-5t-7&=0\\ (t+1)(2t-7)&=0\\ t = -1 \vee t&= \frac{7}{2} \end{aligned}$

Jadi, nilai $t$ yang memenuhi adalah $\frac{7}{2}$

Contoh soal 8

Amoeba yang terdiri atas satu sel berkembang biak dengan cara membelah diri. Setelah $20$ menit, Amoeba itu membelah menjadi $2$ ekor,setelah $40$ menit menjadi $4$ ekor, setelah $60$ menit menjadi $8$ ekor, dan demikian seterusnya. Banyaknya amoeba setelah $3$ jam adalah ...

Jawab:

Jika diperhatikan, pembelahan diri amoeba pada soal diatas akan membentuk barisan $2, 4, 8, ...$

(barisan ini merupakan barisan geometri dengan $a=2$ dan $r=2$)

Pembelahan diri amoeba terjadi setiap $20$ menit, dalam hal ini dapat diartikan bahwa pembelahan diri amoeba setelah $3$ jam ($180$ menit) merupakan pembelahan diri yang ke -9

Sehingga dapat diperoleh banyaknya amoeba setelah $3$ jam adalah

$\begin{aligned} U_n &=ar^{n-1}\\ U_9 &=2.2^{9-1}\\ &=2.2^{8}\\ &= 512 \end{aligned}$

Jadi, banyaknya amoeba setelah $3$ jam adalah $512$ ekor

Contoh soal 9

Suku pertama dan kedua deret geometri berturut-turut adalah $2^{-4}$ dan $2^x$. Jika suku kedelapan adalah $2^{52}$ maka nilai $x$ sama dengan ...

Jawab:

Diketahui, $a=2^{-4}$ dan $U_2=2^x$ sehingga dapat diperoleh $r=\frac{2^x}{2^{-4}}=2^{x+4}$

$\begin{aligned} U_n&=ar^{n-1}\\U_8&=ar^{8-1}\\ 2^{52}&=2^{-4}.(2^{x+4})^{8-1}\\ 2^{52}&=2^{-4}.(2^{x+4})^{7}\\ 2^{52}&=2^{-4}.2^{7x+28}\\ 2^{52}&=2^{7x+24}\\ \color{red}{52}&= \color{red}{7x+24} \\ \color{red}{7x} &= \color{red}{28}\\ \color{red}{x}&= \color{red}{4} \end{aligned}$

Jadi, nilai $x$ yang memenuhi adalah $x=4$

Contoh soal 10

Pada suatu barisan aritmetika, $U_1=10$ dan $U_{28}=91$. Beda antara dua suku yang berurutan adalah ...

Jawab:

Diketahui $U_1=a=10$ dan $U_{28}=91$

Sehingga

$\begin{aligned} U_n&=a+(n-1)b\\ U_{28}&=a+(28-1)b\\ U_{28}&=a+27b\\ 91&=10+27b\\ 91-10&=27b \\ 81&=27b\\ b&= \frac{81}{27}\\ b&=3 \end{aligned}$

Jadi, beda antara dua suku yang berurutan adalah $3$

Demikianlah beberapa contoh soal dan pembahasan pada barisan dan deret bilangan SMP. Semoga bermanfaat.

Referensi

Djumanta, Wahyudin dan Dwi Susanti. 2008. Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk SMP/Mts Kelas IX. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.