#2 Contoh Soal Persamaan Lingkaran beserta Pembahasannya
Berikut ini adalah beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi persamaan lingkaran. Selamat belajar, sobat. Semoga bermanfaat.
Contoh soal 1
Pusat lingkaran dengan persamaan $(x-6)^{2}+y^{2}=36$ adalah ...
Jawab:
Persamaan lingkaran yang berpusat di $P(a,b)$ dan berjari-jari $r$ adalah $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$
Sehingga dapat diperoleh,
$\begin{aligned} (x-\color{red}{6})^{2} \color{black}{+ y}^{2}&=36\\ (x-\color{red}{6})^{2} \color{black}{+ (y-} \color{red}{0})^{2}&=36\\ \end{aligned}$
Jadi, pusat lingkarannya adalah $(6,0)$
Contoh soal 2
Jari-jari lingkaran dengan persamaan $x^{2}+y^{2}=8$ adalah ...
Jawab:
Persamaan lingkaran yang berpusat di $O(0,0)$ dan berjari-jari $r$ adalah $x^{2}+y^{2}=r^{2}$
Sehingga dapat diperoleh
$\begin{aligned} r^2&= 8\\ r&= \sqrt{8}\\ r&= 2\sqrt{2} \end{aligned}$
Jadi, jari-jari lingkarannya adalah $2\sqrt{2}$
Contoh soal 3
Bentuk umum persamaan lingkaran dengan jari-jari $10\sqrt{2}$ dan pusat $(0,3)$ adalah ...
Jawab:
Persamaan lingkaran :
$\begin{aligned} (x-a)^{2}+(y-b)^{2}&=r^{2}\\ (x-0)^{2}+(y-3)^{2}&=(10\sqrt{2})^{2}\\ x^{2}+ y^{2}-6y+9&=200\\ x^{2}+ y^{2}-6y-191&=0 \end{aligned}$
Jadi, persamaan lingkarannya adalah $x^{2}+ y^{2}-6y-191=0$
Contoh soal 4
Titik $(a,1)$ berada pada lingkaran dengan pusat $(0,0)$ dan jari-jari $\sqrt{5}$. Berapakah nilai $a$
Jawab:
Persamaan lingkaran yang berpusat di $O(0,0)$ dan berjari-jari $r$ adalah $x^{2}+y^{2}=r^{2}$
Sehingga dapat diperoleh
$\begin{aligned}x^{2}+y^{2}&=r^{2}\\ a^{2}+1^{2}&=(\sqrt{5})^{2}\\ a^{2}+1&= 5\\ a^{2}&= 4\\ a&=2 \end{aligned}$
Jadi,nilai $a$ adalah $2$
Contoh soal 5
Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran $x^2 + y^2 + 4x -4y -17 = 0$
Jawab:
Bentuk umum persamaan lingkaran adalah $x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$. Dengan demikian $A=4$, $B=-4$, dan $C=-17$
Sehingga diperoleh
$ \text{Pusat lingkaran :}\ P(-\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B)=P(-2,2)$
$\begin{aligned} \text{Jari-jari lingkaran :}\ r&=\sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2} -C} \\ &= \sqrt{\frac{1}{4}.16+\frac{1}{4}.16 +17}\\ &= \sqrt{25} \\ &=5 \end{aligned}$
Jadi, pusat lingkarannya adalah $P(-2,2)$ dengan jari-jari $r=5$
Contoh soal 6
Jika titik $(a,4)$ berada pada lingkaran $(x-5)^{2}+y^{2}=25$. Nilai $a$ yang memenuhi adalah...
Jawab:
$\begin{aligned} (a-5)^{2}+4^{2}&=25\\ a^{2}-10a+25+16&=25\\ a^{2}-10a+16&=0\\ (a-8)(a-2)&=0\\ a=8 \text{ atau } a&=2 \end{aligned}$
Jadi, nilai $a$ yang memenuhi adalah $a=8$ atau $a=2$
Contoh soal 7
Jika lingkaran $x^2 + y^2 + Ax +By -9 = 0$ mempunyai jari-jari $5$. Nilai dari $A^2+B^2$ adalah...
Jawab:
$\begin{aligned} \text{Jari-jari lingkaran :}\ r&=\sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2} -C} \\ r^2&=\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2} +9\\ 25-9 &= \frac{1}{4}(A^{2}+B^{2})\\ 16.4&= A^{2}+B^{2} \\ A^{2}+B^{2}&=64 \end{aligned}$
Jadi, nilai $A^2+B^2$ adalah 64
Contoh soal 8
Persamaan lingkaran yang pusatnya terletak pada garis $2x-4y-8=0$, serta menyinggung sumbu X negatif dan sumbu Y negatif adalah...
Jawab:
Karena pusat lingkaran menyinggung kedua sumbu, maka nilai $x$ dan $y$ pastinya sama. Sehingga didapat persamaan $x=y$
Substitusi persamaan $x=y$ pada persamaan garis $2x-4y-8=0$, sehingga diperoleh:
$\begin{aligned}2x-4y-8&=0\\ 2x-4(x)-8&=0\\-2x&=8\\ x&=-4 \end{aligned}$
Karena $x=y$ maka koordinat pusat lingkarannya adalah $(-4,-4)$ dan jari-jari lingkarannya adalah 4 (sebab lingkaran menyinggung sumbu $X$ dan sumbu $Y$)
Jadi, persamaan lingkarannya adalah
$\begin{aligned} (x-a)^{2}+(y-b)^{2}&=r^{2}\\ (x+4)^{2}+(y+4)^{2}&=4^{2}\\ x^2+8x+16 + y^2 +8y+16 &= 16\\ x^2 + y^2 + 8x +8y +16 &= 0 \end{aligned}$
Contoh soal 9
Persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) serta menyinggung $y=\sqrt{2}x+6$ adalah ...
Jawab:
Rumus jarak dari titik $P(x_1,y_1)$ ke garis $ax+by+c=0$ adalah
$\begin{align} d = \left| \frac{a.x_1 + b.y_1 + c}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right| \end{align}$
Jarak dari pusat $P(0,0)$ ke garis $y=\sqrt{2}x+6$ adalah jari-jari lingkaran, yaitu
$\begin{align} r &= \left| \frac{\sqrt{2}.0 -1.0+ 6}{\sqrt{(2)^2 + 1^2}} \right| \\ &= \left| \frac{6}{\sqrt{3}} \right| \\ &= 2\sqrt {3}\end{align}$
Sehingga diperoleh persamaan lingkaran
$\begin{aligned} x^{2}+y^{2} &= r^{2} \\ x^{2}+y^{2} &= (2\sqrt {3})^{2} \\ x^{2}+y^{2} &=12 \end{aligned}$
Jadi, persamaan lingkarannya adalah $\boxed{x^{2}+y^{2} =12}$
Contoh soal 10
Panjang jari-jari lingkaran dari persamaan $\sqrt{3}x^{2}+\sqrt{3}y^{2} = 3\sqrt{3}$ adalah ...
Jawab:
$\begin{align} \sqrt{3}x^{2}+\sqrt{3}y^{2} &= 3\sqrt{3} ...(\text{dikali} \frac{1}{\sqrt{3}})\\ x^{2}+y^{2} &= 3 \end{align}$
Dari persamaan diatas dapat diperoleh
$\begin{align} r^2&=3\\r&=\sqrt {3} \end{align}$
Jadi, panjang jari-jari lingkarannya adalah $\sqrt {3}$
Demikianlah beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi persamaan lingkaran. Semoga bermanfaat.