Pembuktian Rumus Aturan Cosinus

Aturan Cosinus

Perhatikan segitiga sembarang ABC dibawah ini

Jika a, b, dan c masing-masing menyatakan panjang sisi dari segitiga sembarang ABC diatas, maka dapat berlaku rumus aturan cosinus sebagai berikut.

$\boxed{\begin{aligned} a^2&= b^2+c^2- \text{2bc cosA}\\ b^2&= a^2+c^2- \text{2ac cosB}\\ c^2&= a^2+b^2- \text{2ab cosC} \end{aligned}}$

Untuk pembuktian rumus aturan cosinus-nya adalah sebagai berikut.

$\bullet$ Bukti rumus $a^2=b^2+c^2- \text{2bc cosA}$

Misalkan $AD=x$,maka $BD=c-x$

Perhatikan segitiga ADC :

$CD^2=b^2-x^2 ...(1)$

Perhatikan segitiga BDC :

$CD^2=a^2-(c-x)^2=a^2-c^2+2cx-x^2 ...(2)$

Berdasarkan persamaan $(1)$ dan $(2)$,diperoleh :

$\begin{aligned} b^2-x^2&= a^2-c^2+2cx-x^2\\ b^2&=a^2-c^2+2cx \end{aligned}$

atau

$a^2=b^2+c^2-2cx ...(3)$

Pada segitiga ADC :

$cosA=\frac{x}{b}\leftrightarrow x= \text{b cosA} ...(4)$

Berdasarkan persamaan $(3)$ dan $(4)$, maka diperoleh :

$\boxed{a^2=b^2+c^2- \text{2bc cosA}}$

$\bullet$ Bukti rumus $b^2=a^2+c^2- \text{2ac cosB}$

Misalkan $BD=x$,maka $CD=a-x$

Perhatikan segitiga BDA :

$AD^2=c^2-x^2 ...(1)$

Perhatikan segitiga CDA :

$AD^2=b^2-(a-x)^2=b^2-a^2+2ax-x^2 ...(2)$

Berdasarkan persamaan $(1)$ dan $(2)$,diperoleh :

$\begin{aligned} c^2-x^2&= b^2-a^2+2ax-x^2\\ c^2&=b^2-a^2+2ax \end{aligned}$

atau

$b^2=a^2+c^2-2ax ...(3)$

Pada segitiga BDA :

$cosB=\frac{x}{c}\leftrightarrow x= \text{c cosB} ...(4)$

Berdasarkan persamaan $(3)$ dan $(4)$, maka diperoleh :

$\boxed{b^2=a^2+c^2- \text{2ac cosB}}$

$\bullet$ Bukti rumus $c^2=a^2+b^2- \text{2ab cosC}$ 

Misalkan $CD=x$,maka $AD=b-x$

Perhatikan segitiga CDB :

$BD^2=a^2-x^2 ...(1)$

Perhatikan segitiga ADB :

$BD^2=c^2-(b-x)^2=c^2-b^2+2bx-x^2 ...(2)$

Berdasarkan persamaan $(1)$ dan $(2)$,diperoleh :

$\begin{aligned} a^2-x^2&= c^2-b^2+2bx-x^2\\ a^2&=c^2-b^2+2bx \end{aligned}$

atau

$c^2=a^2+b^2-2bx ...(3)$

Pada segitiga CDB :

$cosC=\frac{x}{a}\leftrightarrow x= \text{a cosC} ...(4)$

Berdasarkan persamaan $(3)$ dan $(4)$, maka diperoleh :

$\boxed{c^2=a^2+b^2- \text{2ab cosC}}$

Berikut ini contoh soal aturan cosinus dan pembahasannya.

Contoh soal 1

Pada sebuah segitiga ABC, hitunglah panjang sisi $a$ jika $b=20$cm, $c=10$cm, dan besar sudut A =$60^\circ$

Jawab:

$\begin{aligned} a&=\sqrt{b^2+c^2-\text{2bc cosA}}\\ &= \sqrt{20^2+10^2-2.20.10 .cos60^\circ}\\ &= \sqrt{400+100-400.\frac{1}{2}}\\ &=\sqrt{300}\\ &=10\sqrt{3}  \end{aligned}$

Jadi, panjang sisi $a$ adalah $10\sqrt{3}$ cm

Contoh soal 2

Diketahui segitiga PQR dengan panjang $PQ=10$ cm dan $QR=15$ cm. Jika panjang $PR=5\sqrt{7}$ cm, besar sudut $Q$ adalah ...

Jawab:

$\begin{aligned} PR^2&=PQ^2+QR^2-2.PQ.QR.cosQ\\ {(5\sqrt{7})}^2&=10^2+15^2-2.10.15. cosQ\\ 175&= 100+225-300.cosQ\\ 300.cosQ&=325-175\\ cosQ&=\frac{150}{300}\\ cosQ&=\frac{1}{2}\\ Q&=60^\circ \end{aligned}$

Jadi, besar sudut $Q$ adalah $60^\circ$

Demikianlah pembahasan terkait pembuktian rumus aturan cosinus beserta contoh soalnya. Semoga bermanfaat.