Pembuktian Rumus Aturan Cosinus

Aturan Cosinus

Perhatikan segitiga sembarang ABC dibawah ini

Jika a, b, dan c masing-masing menyatakan panjang sisi dari segitiga sembarang ABC diatas, maka dapat berlaku rumus aturan cosinus sebagai berikut.

$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{rl}{a}^2& =b^2+c^2-\text{2bc cosA}\\ b^2& =a^2+c^2-\text{2ac cosB}\\ c^2& =a^2+b^2-\text{2ab cosC}\end{array}}}$

Untuk pembuktian rumus aturan cosinus-nya adalah sebagai berikut.

$\bullet$ Bukti rumus $a^2=b^2+c^2-\text{2bc cosA}$

Misalkan $AD=x$,maka $BD=c-x$

Perhatikan segitiga ADC :

$C{D}^2=b^2-x^2...(1)$

Perhatikan segitiga BDC :

$C{D}^2=a^2-(c-x{)}^2=a^2-c^2+2cx-x^2...(2)$

Berdasarkan persamaan $(1)$ dan $(2)$,diperoleh :

$\begin{array}{rl}{b}^2-x^2& =a^2-c^2+2cx-x^2\\ b^2& =a^2-c^2+2cx\end{array}$

atau

$a^2=b^2+c^2-2cx...(3)$

Pada segitiga ADC :

$cosA=\frac{x}{b}\leftrightarrow x=\text{b cosA}...(4)$

Berdasarkan persamaan $(3)$ dan $(4)$, maka diperoleh :

$\boxed{{\displaystyle a^2=b^2+c^2-\text{2bc cosA}}}$

$\bullet$ Bukti rumus $b^2=a^2+c^2-\text{2ac cosB}$

Misalkan $BD=x$,maka $CD=a-x$

Perhatikan segitiga BDA :

$A{D}^2=c^2-x^2...(1)$

Perhatikan segitiga CDA :

$A{D}^2=b^2-(a-x{)}^2=b^2-a^2+2ax-x^2...(2)$

Berdasarkan persamaan $(1)$ dan $(2)$,diperoleh :

$\begin{array}{rl}{c}^2-x^2& =b^2-a^2+2ax-x^2\\ c^2& =b^2-a^2+2ax\end{array}$

atau

$b^2=a^2+c^2-2ax...(3)$

Pada segitiga BDA :

$cosB=\frac{x}{c}\leftrightarrow x=\text{c cosB}...(4)$

Berdasarkan persamaan $(3)$ dan $(4)$, maka diperoleh :

$\boxed{{\displaystyle b^2=a^2+c^2-\text{2ac cosB}}}$

$\bullet$ Bukti rumus $c^2=a^2+b^2-\text{2ab cosC}$ 

Misalkan $CD=x$,maka $AD=b-x$

Perhatikan segitiga CDB :

$B{D}^2=a^2-x^2...(1)$

Perhatikan segitiga ADB :

$B{D}^2=c^2-(b-x{)}^2=c^2-b^2+2bx-x^2...(2)$

Berdasarkan persamaan $(1)$ dan $(2)$,diperoleh :

$\begin{array}{rl}{a}^2-x^2& =c^2-b^2+2bx-x^2\\ a^2& =c^2-b^2+2bx\end{array}$

atau

$c^2=a^2+b^2-2bx...(3)$

Pada segitiga CDB :

$cosC=\frac{x}{a}\leftrightarrow x=\text{a cosC}...(4)$

Berdasarkan persamaan $(3)$ dan $(4)$, maka diperoleh :

$\boxed{{\displaystyle c^2=a^2+b^2-\text{2ab cosC}}}$

Berikut ini contoh soal aturan cosinus dan pembahasannya.

Contoh soal 1

Pada sebuah segitiga ABC, hitunglah panjang sisi $a$ jika $b=20$cm, $c=10$cm, dan besar sudut A =${60}^{\circ }$

Jawab:

$\begin{array}{rl}a& =\sqrt{b^2+c^2-\text{2bc cosA}}\\ & =\sqrt{{20}^2+{10}^2-2.20.10.cos{60}^{\circ }}\\ & =\sqrt{400+100-400.\frac{1}{2}}\\ & =\sqrt{300}\\ & =10\sqrt{3}\end{array}$

Jadi, panjang sisi $a$ adalah $10\sqrt{3}$ cm

Contoh soal 2

Diketahui segitiga PQR dengan panjang $PQ=10$ cm dan $QR=15$ cm. Jika panjang $PR=5\sqrt{7}$ cm, besar sudut $Q$ adalah ...

Jawab:

$\begin{array}{rl}P{R}^2& =P{Q}^2+Q{R}^2-2.PQ.QR.cosQ\\ {(5\sqrt{7})}^2& ={10}^2+{15}^2-2.10.15.cosQ\\ 175& =100+225-300.cosQ\\ 300.cosQ& =325-175\\ cosQ& =\frac{150}{300}\\ cosQ& =\frac{1}{2}\\ Q& ={60}^{\circ }\end{array}$

Jadi, besar sudut $Q$ adalah ${60}^{\circ }$

Demikianlah pembahasan terkait pembuktian rumus aturan cosinus beserta contoh soalnya. Semoga bermanfaat.