Contoh Soal Transformasi Geometri - Refleksi beserta Pembahasannya
Refleksi
Refleksi (pencerminan) merupakan transformasi yang memindahkan tiap titik pada bidang (objek) dengan sifat bayangan cermin.
Sifat-sifat refleksi :
$1)$ Bangun (objek) yang direfleksikan kongruen dengan bayangannya
$2)$ Jarak setiap titik pada bangun (objek) ke cermin sama dengan jarak setiap titik bayangannya ke cermin
$3)$ Sudut yang dibentuk oleh cermin dengan garis yang menghubungkan setiap titik ke bayangannya adalah sudut siku-siku
Rumus Transformasi Refleksi
$\bullet$ Jika titik $A(x,y)$ direfleksikan terhadap sumbu $X$, maka akan diperoleh :
$A(x,y) \overset{C_{sumbu ~x} \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) }{~~~~ \huge \rightarrow} A' (x', y')$
$ \left( \begin{matrix} x' \\ y' \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} x \\ -y \end{matrix} \right) $
$\bullet$ Jika titik $A(x,y)$ direfleksikan terhadap sumbu $Y$, maka akan diperoleh :
$A(x,y) \overset{C_{sumbu ~y} \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) }{~~~~ \huge \rightarrow} A' (x', y')$
$ \left( \begin{matrix} x' \\ y' \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -x \\ y \end{matrix} \right) $
$\bullet$ Jika titik $A(x,y)$ direfleksikan terhadap garis $y=x$, maka akan diperoleh :
$A(x,y) \overset{C_{y=x} \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) }{~~~~ \huge \rightarrow} A' (x', y')$
$ \left( \begin{matrix} x' \\ y' \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} y \\ x \end{matrix} \right) $
$\bullet$ Jika titik $A(x,y)$ direfleksikan terhadap garis $y=-x$, maka akan diperoleh :
$A(x,y) \overset{C_{y=-x} \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right) }{~~~~ \huge \rightarrow} A' (x', y')$
$ \left( \begin{matrix} x' \\ y' \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -y \\ -x \end{matrix} \right) $
$\bullet$ Jika titik $A(x,y)$ direfleksikan terhadap titik asal $O(0,0)$, maka akan diperoleh:
$A(x,y) \overset{C_{O} \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) }{~~~~ \huge \rightarrow} A' (x', y')$
$ \left( \begin{matrix} x' \\ y' \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -x \\ -y \end{matrix} \right) $
$\bullet$ Jika titik $A(x,y)$ direfleksikan terhadap garis $x=h$, maka akan diperoleh :
$A(x,y) \overset{C_{x=h} }{ \huge \rightarrow} A' (x', y')$
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 2h \\ 0 \end{matrix} \right)= \left( \begin{matrix} 2h-x \\ y \end{matrix} \right) $
$\bullet$ Jika titik $A(x,y)$ direfleksikan terhadap garis $y=k$, maka akan diperoleh :
$A(x,y) \overset{C_{y=k} }{ \huge \rightarrow} A' (x', y')$
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ 2k \end{matrix} \right)= \left( \begin{matrix} x \\ 2k-y \end{matrix} \right) $
Berikut ini beberapa contoh soal transformasi refleksi dan pembahasannya.
Contoh soal 1
Tentukan bayangan segitiga $ABC$ dengan titik sudut $A(6,5)$, $B(4,3)$, dan $C(7,2)$ jika :
$a)$ dicerminkan terhadap sumbu X
$b)$ dicerminkan terhadap sumbu Y
$c)$ dicerminkan terhadap garis $y=x$
$d)$ dicerminkan terhadap garis $y=-x$
$e)$ dicerminkan terhadap titik O
$f)$ dicerminkan terhadap sumbu X, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis $y=x$
$g)$ dicerminkan terhadap sumbu Y, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap titik O
Jawab:
Diketahui : Segitiga $ABC$ dengan titik sudut $A(6,5)$, $B(4,3)$, dan $C(7,2)$
$a)$ Pencerminan terhadap sumbu X
$\begin{aligned} \left( \begin{matrix} {x_1}' & {x_2}' & {x_3}' \\ {y_1}' & {y_2}' & {y_3}' \end{matrix} \right) &= \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} {x_1} & {x_2} & {x_3} \\ {y_1} & {y_2} & {y_3} \end{matrix} \right)\\ \\ &= \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 6 & 4 & 7 \\ 5 & 3 & 2 \end{matrix} \right) \\ \\ &= \left( \begin{matrix} 6 & 4 & 7 \\ -5 & -3 & -2 \end{matrix} \right) \end{aligned}$
Jadi, diperoleh bayangannya yaitu segitiga $A'B'C'$ dengan titik sudut $A'(6,-5)$, $B'(4,-3)$, dan $C'(7,-2)$
$b)$ Pencerminan terhadap sumbu Y
$\begin{aligned} \left( \begin{matrix} {x_1}' & {x_2}' & {x_3}' \\ {y_1}' & {y_2}' & {y_3}' \end{matrix} \right) &= \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} {x_1} & {x_2} & {x_3} \\ {y_1} & {y_2} & {y_3} \end{matrix} \right)\\ \\ &= \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 6 & 4 & 7 \\ 5 & 3 & 2 \end{matrix} \right) \\ \\ &= \left( \begin{matrix} -6 & -4 & -7 \\ 5 & 3 & 2 \end{matrix} \right) \end{aligned}$
Jadi, diperoleh bayangannya yaitu segitiga $A'B'C'$ dengan titik sudut $A'(-6,5)$, $B'(-4,3)$, dan $C'(-7,2)$
$c)$ Pencerminan terhadap garis $y=x$
$\begin{aligned} \left( \begin{matrix} {x_1}' & {x_2}' & {x_3}' \\ {y_1}' & {y_2}' & {y_3}' \end{matrix} \right) &= \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} {x_1} & {x_2} & {x_3} \\ {y_1} & {y_2} & {y_3} \end{matrix} \right)\\ \\ &= \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 6 & 4 & 7 \\ 5 & 3 & 2 \end{matrix} \right) \\ \\ &= \left( \begin{matrix} 5 & 3 & 2 \\ 6 & 4 & 7 \end{matrix} \right) \end{aligned}$
Jadi, diperoleh bayangannya yaitu segitiga $A'B'C'$ dengan titik sudut $A'(5,6)$, $B'(3,4)$, dan $C'(2,7)$
$d)$ Pencerminan terhadap garis $y=-x$
$\begin{aligned} \left( \begin{matrix} {x_1}' & {x_2}' & {x_3}' \\ {y_1}' & {y_2}' & {y_3}' \end{matrix} \right) &= \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} {x_1} & {x_2} & {x_3} \\ {y_1} & {y_2} & {y_3} \end{matrix} \right)\\ \\ &= \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 6 & 4 & 7 \\ 5 & 3 & 2 \end{matrix} \right) \\ \\ &= \left( \begin{matrix} -5 & -3 & -2 \\ -6 & -4 & -7 \end{matrix} \right) \end{aligned}$
Jadi, diperoleh bayangannya yaitu segitiga $A'B'C'$ dengan titik sudut $A'(-5,-6)$, $B'(-3,-4)$, dan $C'(-2,-7)$
$e)$ Pencerminan terhadap titik O
$\begin{aligned} \left( \begin{matrix} {x_1}' & {x_2}' & {x_3}' \\ {y_1}' & {y_2}' & {y_3}' \end{matrix} \right) &= \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} {x_1} & {x_2} & {x_3} \\ {y_1} & {y_2} & {y_3} \end{matrix} \right)\\ \\ &= \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 6 & 4 & 7 \\ 5 & 3 & 2 \end{matrix} \right) \\ \\ &= \left( \begin{matrix} -6 & -4 & -7 \\ -5 & -3 & -2 \end{matrix} \right) \end{aligned}$
Jadi, diperoleh bayangannya yaitu segitiga $A'B'C'$ dengan titik sudut $A'(-6,-5)$, $B'(-4,-3)$, dan $C'(-7,-2)$
$f)$ Pencerminan terhadap sumbu X, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis $y=x$
Dari hasil $a)$ telah diperoleh hasil pencerminan terhadap sumbu X, sehingga tinggal dicerminkan lagi terhadap garis $y=x$
$\begin{aligned} \left( \begin{matrix} {x_1}'' & {x_2}'' & {x_3}'' \\ {y_1}'' & {y_2}'' & {y_3}'' \end{matrix} \right) &= \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} {x_1}' & {x_2}' & {x_3}' \\ {y_1}' & {y_2}' & {y_3}' \end{matrix} \right)\\ \\ &= \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 6 & 4 & 7 \\ -5 & -3 & -2 \end{matrix} \right) \\ \\ &= \left( \begin{matrix} -5 & -3 & -2 \\ 6 & 4 & 7 \end{matrix} \right) \end{aligned}$
Jadi, diperoleh bayangannya yaitu segitiga $A''B''C''$ dengan titik sudut $A''(-5,6)$, $B''(-3,4)$, dan $C''(-2,7)$
$g)$ Pencerminan terhadap sumbu Y, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap titik O
Dari hasil $b)$ telah diperoleh hasil pencerminan terhadap sumbu Y, sehingga tinggal dicerminkan lagi terhadap titik O
$\begin{aligned} \left( \begin{matrix} {x_1}'' & {x_2}'' & {x_3}'' \\ {y_1}'' & {y_2}'' & {y_3}'' \end{matrix} \right) &= \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} {x_1}' & {x_2}' & {x_3}' \\ {y_1}' & {y_2}' & {y_3}' \end{matrix} \right)\\ \\ &= \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} -6 & -4 & -7 \\ 5 & 3 & 2 \end{matrix} \right) \\ \\ &= \left( \begin{matrix} 6 & 4 & 7 \\ -5 & -3 & -2 \end{matrix} \right) \end{aligned}$
Jadi, diperoleh bayangannya yaitu segitiga $A''B''C''$ dengan titik sudut $A''(6,-5)$, $B''(4,-3)$, dan $C''(7,-2)$
Contoh soal 2
Tentukan bayangan titik $A(4,3)$ oleh :
$a)$ pencerminan terhadap sumbu X, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu Y
$b)$ pencerminan terhadap garis $y=1$, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis $y=-3$
Jawab:
Diketahui titik $A(4,3)$
$a)$ pencerminan terhadap sumbu X, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu Y
$\begin{aligned} \left( \begin{matrix} {x_1}'' \\ {y_1}'' \end{matrix} \right) &=\left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} {x_1} \\ {y_1} \end{matrix} \right)\\ \\ &= \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 4 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ \\ &= \left( \begin{matrix} -4 \\ -3 \end{matrix} \right) \end{aligned}$
Jadi, diperoleh bayangannya yaitu titik $A''(-4,-3)$
$b)$ pencerminan terhadap garis $y=1$, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis $y=-3$
Pencerminan terhadap garis $y=1$
$\begin{aligned} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) &= \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ 2k \end{matrix} \right) \\ \\ &= \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 4 \\ 3 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ 2.1 \end{matrix} \right) \\ \\ &= \left( \begin{matrix} 4 \\ -1 \end{matrix} \right) \end{aligned}$
Pencerminan lagi terhadap garis $y=-3$
$\begin{aligned} \left( \begin{matrix} x'' \\ y'' \end{matrix} \right) &= \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x' \\ y' \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ 2k \end{matrix} \right) \\ \\ &= \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 4 \\ -1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ 2(-3) \end{matrix} \right) \\ \\ &= \left( \begin{matrix} 4 \\ -5 \end{matrix} \right) \end{aligned}$
Jadi, diperoleh bayangannya yaitu titik $A''(4,-5)$
Contoh soal 3
Tentukan bayangan garis $x+2y-2=0$ jika dicerminkan terhadap garis $x=-9$
Jawab:
$A(x,y) \overset{C_{x=-9} }{ \huge \rightarrow} A' (x', y')$
$\begin{aligned} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) &= \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 2(-9) \\ 0 \end{matrix} \right)\\ \\ &= \left( \begin{matrix} -x \\ y \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -18 \\ 0 \end{matrix} \right) \\ \\ &= \left( \begin{matrix} -x-18 \\ y \end{matrix} \right) \end{aligned}$
Sehingga diperoleh
$x'=-18-x \rightarrow x=-x'-18$
$y'=y \rightarrow y=y'$
Substitusi nilai $x$ dan $y$ pada persamaan garis $x+2y-2=0$ sehingga diperoleh
$\begin{aligned} x+2y-2 &= 0 \\ (-18-x')+2y'-2 &= 0 \\ -x'+2y'-20 &= 0 \end{aligned}$
Jadi, bayangannya adalah $-x+2y-20=0$
Contoh soal 4
Tentukan bayangan parabola $y=x^{2}+x-6$ jika dicerminkan terhadap garis $y=2$
Jawab:
$A(x,y) \overset{C_{y=2} }{ \huge \rightarrow} A' (x', y')$
$\begin{aligned} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) &= \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ 2(2) \end{matrix} \right) \\ &= \left( \begin{matrix} x \\ -y \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ 4 \end{matrix} \right) \\ &= \left( \begin{matrix} x \\ -y+4 \end{matrix} \right) \end{aligned}$
Sehingga diperoleh
$x'=x \rightarrow x=x'$
$y'=-y+4 \rightarrow y=-y'+4$
Substitusi nilai $x$ dan $y$ pada persamaan parabola $y=x^{2}+x-6$ sehingga diperoleh
$\begin{aligned} y&=x^{2}+x-6 \\ -y'+4 &= (x')^{2}+x'-6 \\ y' &= -(x')^{2}-x'+10 \end{aligned}$
Jadi, bayangannya adalah $y=-x^{2}-x+10$
Contoh soal 5
Suatu persamaan parabola dicerminkan terhadap garis $y=3$ menghasilkan bayangan $y=-x^{2}-2x+5$. Tentukanlah persamaan parabola tersebut.
Jawab:
Persamaan bayangan : $y=-x^{2}-2x+5$ bisa ditulis dengan $y'=-(x')^{2}-2x'+5$
$A(x,y) \overset{C_{y=3} }{ \huge \rightarrow} A' (x', y')$
$\begin{aligned} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) &= \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ 2(3) \end{matrix} \right) \\ &= \left( \begin{matrix} x \\ -y \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ 6 \end{matrix} \right) \\ &= \left( \begin{matrix} x \\ -y+6 \end{matrix} \right) \end{aligned}$
Sehingga diperoleh
$x'=x $
$y'=-y+6$
Substitusi nilai $x'$ dan $y'$ pada persamaan bayangan $y'=-(x')^{2}-2x'+5$ sehingga diperoleh
$\begin{aligned} y'&=-(x')^{2}-2x'+5 \\ -y+6&=-x^{2}-2x+5 \\ -y&=-x^{2}-2x+5-6 \\ y&= x^{2}+2x+1 \end{aligned}$
Jadi, persamaan parabola tersebut adalah $y= x^{2}+2x+1$
Demikianlah beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi transformasi refleksi. Semoga bermanfaat.
Referensi
E. S., Pesta dan Cecep Anwar H. F. S. 2008. Matematika aplikasi : untuk SMA dan MA kelas XII program studi ilmu alam. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.
Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan. 2014. Matematika untuk SMA/MA/SMK/MAK Kelas XI Semester 2. Jakarta: Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.
