Contoh Soal Transformasi Geometri - Refleksi beserta Pembahasannya

Refleksi

Refleksi (pencerminan) merupakan transformasi yang memindahkan tiap titik pada bidang (objek) dengan sifat bayangan cermin.

Sifat-sifat refleksi :

$1)$ Bangun (objek) yang direfleksikan kongruen dengan bayangannya

$2)$ Jarak setiap titik pada bangun (objek) ke cermin sama dengan jarak setiap titik bayangannya ke cermin

$3)$ Sudut yang dibentuk oleh cermin dengan garis yang menghubungkan setiap titik ke bayangannya adalah sudut siku-siku

Rumus Transformasi Refleksi

$\bullet$ Jika titik $A(x,y)$ direfleksikan terhadap sumbu $X$, maka akan diperoleh :

$A(x,y)\stackrel{C_{sumbux}\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)}{\to }{A}^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime })$

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x\\ -y\end{array}\right)$ 

$\bullet$ Jika titik $A(x,y)$ direfleksikan terhadap sumbu $Y$, maka akan diperoleh :

$A(x,y)\stackrel{C_{sumbuy}\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)}{\to }{A}^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime })$

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-x\\ y\end{array}\right)$

$\bullet$ Jika titik $A(x,y)$ direfleksikan terhadap garis $y=x$, maka akan diperoleh :

$A(x,y)\stackrel{C_{y=x}\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)}{\to }{A}^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime })$

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}y\\ x\end{array}\right)$

$\bullet$ Jika titik $A(x,y)$ direfleksikan terhadap garis $y=-x$, maka akan diperoleh :

$A(x,y)\stackrel{C_{y=-x}\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ -1& 0\end{array}\right)}{\to }{A}^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime })$

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ -1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-y\\ -x\end{array}\right)$

$\bullet$ Jika titik $A(x,y)$ direfleksikan terhadap titik asal $O(0,0)$, maka akan diperoleh:

$A(x,y)\stackrel{C_O\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)}{\to }{A}^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime })$

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-x\\ -y\end{array}\right)$

$\bullet$ Jika titik $A(x,y)$ direfleksikan terhadap garis $x=h$, maka akan diperoleh :

$A(x,y)\stackrel{C_{x=h}}{\to }{A}^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime })$

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}2h\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2h-x\\ y\end{array}\right)$

$\bullet$ Jika titik $A(x,y)$ direfleksikan terhadap garis $y=k$, maka akan diperoleh :

$A(x,y)\stackrel{C_{y=k}}{\to }{A}^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime })$

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0\\ 2k\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x\\ 2k-y\end{array}\right)$

Berikut ini beberapa contoh soal transformasi refleksi dan pembahasannya.

Contoh soal 1

Tentukan bayangan segitiga $ABC$ dengan titik sudut $A(6,5)$, $B(4,3)$, dan $C(7,2)$ jika :

$a)$ dicerminkan terhadap sumbu X

$b)$ dicerminkan terhadap sumbu Y

$c)$ dicerminkan terhadap garis $y=x$

$d)$ dicerminkan terhadap garis $y=-x$

$e)$ dicerminkan terhadap titik O

$f)$ dicerminkan terhadap sumbu X, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis $y=x$

$g)$ dicerminkan terhadap sumbu Y, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap titik O

Jawab:

Diketahui : Segitiga $ABC$ dengan titik sudut $A(6,5)$, $B(4,3)$, dan $C(7,2)$

$a)$ Pencerminan terhadap sumbu X

$\begin{array}{rl}\left(\begin{array}{ccc}{x_1}^{\prime }& {x_2}^{\prime }& {x_3}^{\prime }\\ {y_1}^{\prime }& {y_2}^{\prime }& {y_3}^{\prime }\end{array}\right)& =\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}{x}_1& x_2& x_3\\ y_1& y_2& y_3\end{array}\right)\\ \\ & =\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}6& 4& 7\\ 5& 3& 2\end{array}\right)\\ \\ & =\left(\begin{array}{ccc}6& 4& 7\\ -5& -3& -2\end{array}\right)\end{array}$

Jadi, diperoleh bayangannya yaitu segitiga $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ dengan titik sudut $A^{\prime }(6,-5)$, $B^{\prime }(4,-3)$, dan $C^{\prime }(7,-2)$

$b)$ Pencerminan terhadap sumbu Y

$\begin{array}{rl}\left(\begin{array}{ccc}{x_1}^{\prime }& {x_2}^{\prime }& {x_3}^{\prime }\\ {y_1}^{\prime }& {y_2}^{\prime }& {y_3}^{\prime }\end{array}\right)& =\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}{x}_1& x_2& x_3\\ y_1& y_2& y_3\end{array}\right)\\ \\ & =\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}6& 4& 7\\ 5& 3& 2\end{array}\right)\\ \\ & =\left(\begin{array}{ccc}-6& -4& -7\\ 5& 3& 2\end{array}\right)\end{array}$

Jadi, diperoleh bayangannya yaitu segitiga $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ dengan titik sudut $A^{\prime }(-6,5)$, $B^{\prime }(-4,3)$, dan $C^{\prime }(-7,2)$

$c)$ Pencerminan terhadap garis $y=x$

$\begin{array}{rl}\left(\begin{array}{ccc}{x_1}^{\prime }& {x_2}^{\prime }& {x_3}^{\prime }\\ {y_1}^{\prime }& {y_2}^{\prime }& {y_3}^{\prime }\end{array}\right)& =\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}{x}_1& x_2& x_3\\ y_1& y_2& y_3\end{array}\right)\\ \\ & =\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}6& 4& 7\\ 5& 3& 2\end{array}\right)\\ \\ & =\left(\begin{array}{ccc}5& 3& 2\\ 6& 4& 7\end{array}\right)\end{array}$

Jadi, diperoleh bayangannya yaitu segitiga $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ dengan titik sudut $A^{\prime }(5,6)$, $B^{\prime }(3,4)$, dan $C^{\prime }(2,7)$

$d)$ Pencerminan terhadap garis $y=-x$

$\begin{array}{rl}\left(\begin{array}{ccc}{x_1}^{\prime }& {x_2}^{\prime }& {x_3}^{\prime }\\ {y_1}^{\prime }& {y_2}^{\prime }& {y_3}^{\prime }\end{array}\right)& =\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ -1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}{x}_1& x_2& x_3\\ y_1& y_2& y_3\end{array}\right)\\ \\ & =\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ -1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}6& 4& 7\\ 5& 3& 2\end{array}\right)\\ \\ & =\left(\begin{array}{ccc}-5& -3& -2\\ -6& -4& -7\end{array}\right)\end{array}$

Jadi, diperoleh bayangannya yaitu segitiga $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ dengan titik sudut $A^{\prime }(-5,-6)$, $B^{\prime }(-3,-4)$, dan $C^{\prime }(-2,-7)$

$e)$ Pencerminan terhadap titik O

$\begin{array}{rl}\left(\begin{array}{ccc}{x_1}^{\prime }& {x_2}^{\prime }& {x_3}^{\prime }\\ {y_1}^{\prime }& {y_2}^{\prime }& {y_3}^{\prime }\end{array}\right)& =\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}{x}_1& x_2& x_3\\ y_1& y_2& y_3\end{array}\right)\\ \\ & =\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}6& 4& 7\\ 5& 3& 2\end{array}\right)\\ \\ & =\left(\begin{array}{ccc}-6& -4& -7\\ -5& -3& -2\end{array}\right)\end{array}$

Jadi, diperoleh bayangannya yaitu segitiga $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ dengan titik sudut $A^{\prime }(-6,-5)$, $B^{\prime }(-4,-3)$, dan $C^{\prime }(-7,-2)$

$f)$ Pencerminan terhadap sumbu X, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis $y=x$

Dari hasil $a)$ telah diperoleh hasil pencerminan terhadap sumbu X, sehingga tinggal dicerminkan lagi terhadap garis $y=x$

$\begin{array}{rl}\left(\begin{array}{ccc}{x_1}^{″}& {x_2}^{″}& {x_3}^{″}\\ {y_1}^{″}& {y_2}^{″}& {y_3}^{″}\end{array}\right)& =\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}{x_1}^{\prime }& {x_2}^{\prime }& {x_3}^{\prime }\\ {y_1}^{\prime }& {y_2}^{\prime }& {y_3}^{\prime }\end{array}\right)\\ \\ & =\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}6& 4& 7\\ -5& -3& -2\end{array}\right)\\ \\ & =\left(\begin{array}{ccc}-5& -3& -2\\ 6& 4& 7\end{array}\right)\end{array}$

Jadi, diperoleh bayangannya yaitu segitiga $A^{″}{B}^{″}{C}^{″}$ dengan titik sudut $A^{″}(-5,6)$, $B^{″}(-3,4)$, dan $C^{″}(-2,7)$

$g)$ Pencerminan terhadap sumbu Y, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap titik O

Dari hasil $b)$ telah diperoleh hasil pencerminan terhadap sumbu Y, sehingga tinggal dicerminkan lagi terhadap titik O

$\begin{array}{rl}\left(\begin{array}{ccc}{x_1}^{″}& {x_2}^{″}& {x_3}^{″}\\ {y_1}^{″}& {y_2}^{″}& {y_3}^{″}\end{array}\right)& =\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}{x_1}^{\prime }& {x_2}^{\prime }& {x_3}^{\prime }\\ {y_1}^{\prime }& {y_2}^{\prime }& {y_3}^{\prime }\end{array}\right)\\ \\ & =\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}-6& -4& -7\\ 5& 3& 2\end{array}\right)\\ \\ & =\left(\begin{array}{ccc}6& 4& 7\\ -5& -3& -2\end{array}\right)\end{array}$

Jadi, diperoleh bayangannya yaitu segitiga $A^{″}{B}^{″}{C}^{″}$ dengan titik sudut $A^{″}(6,-5)$, $B^{″}(4,-3)$, dan $C^{″}(7,-2)$

Contoh soal 2

Tentukan bayangan titik $A(4,3)$ oleh :

$a)$ pencerminan terhadap sumbu X, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu Y

$b)$ pencerminan terhadap garis $y=1$, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis $y=-3$

Jawab:

Diketahui titik $A(4,3)$

$a)$ pencerminan terhadap sumbu X, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu Y

$\begin{array}{rl}\left(\begin{array}{c}{x_1}^{″}\\ {y_1}^{″}\end{array}\right)& =\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\right)\\ \\ & =\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)\\ \\ & =\left(\begin{array}{c}-4\\ -3\end{array}\right)\end{array}$

Jadi, diperoleh bayangannya yaitu titik $A^{″}(-4,-3)$

$b)$ pencerminan terhadap garis $y=1$, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis $y=-3$

Pencerminan terhadap garis $y=1$

$\begin{array}{rl}\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)& =\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0\\ 2k\end{array}\right)\\ \\ & =\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0\\ 2.1\end{array}\right)\\ \\ & =\left(\begin{array}{c}4\\ -1\end{array}\right)\end{array}$

Pencerminan lagi terhadap garis $y=-3$

$\begin{array}{rl}\left(\begin{array}{c}{x}^{″}\\ y^{″}\end{array}\right)& =\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0\\ 2k\end{array}\right)\\ \\ & =\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}4\\ -1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0\\ 2(-3)\end{array}\right)\\ \\ & =\left(\begin{array}{c}4\\ -5\end{array}\right)\end{array}$

Jadi, diperoleh bayangannya yaitu titik $A^{″}(4,-5)$

Contoh soal 3

Tentukan bayangan garis $x+2y-2=0$ jika dicerminkan terhadap garis $x=-9$

Jawab:

$A(x,y)\stackrel{C_{x=-9}}{\to }{A}^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime })$

$\begin{array}{rl}\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)& =\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}2(-9)\\ 0\end{array}\right)\\ \\ & =\left(\begin{array}{c}-x\\ y\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}-18\\ 0\end{array}\right)\\ \\ & =\left(\begin{array}{c}-x-18\\ y\end{array}\right)\end{array}$

Sehingga diperoleh

$x^{\prime }=-18-x\to x=-x^{\prime }-18$

$y^{\prime }=y\to y=y^{\prime }$

Substitusi nilai $x$ dan $y$ pada persamaan garis $x+2y-2=0$ sehingga diperoleh 

$\begin{array}{rl}x+2y-2& =0\\ (-18-x^{\prime })+2y^{\prime }-2& =0\\ -x^{\prime }+2y^{\prime }-20& =0\end{array}$

Jadi, bayangannya adalah $-x+2y-20=0$

Contoh soal 4

Tentukan bayangan parabola $y=x^2+x-6$ jika dicerminkan terhadap garis $y=2$

Jawab:

$A(x,y)\stackrel{C_{y=2}}{\to }{A}^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime })$

$\begin{array}{rl}\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)& =\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0\\ 2(2)\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{c}x\\ -y\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0\\ 4\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{c}x\\ -y+4\end{array}\right)\end{array}$

Sehingga diperoleh

$x^{\prime }=x\to x=x^{\prime }$

$y^{\prime }=-y+4\to y=-y^{\prime }+4$

Substitusi nilai $x$ dan $y$ pada persamaan parabola $y=x^2+x-6$ sehingga diperoleh

$\begin{array}{rl}y& =x^2+x-6\\ -y^{\prime }+4& =(x^{\prime }{)}^2+x^{\prime }-6\\ y^{\prime }& =-(x^{\prime }{)}^2-x^{\prime }+10\end{array}$

Jadi, bayangannya adalah $y=-x^2-x+10$

Contoh soal 5

Suatu persamaan parabola dicerminkan terhadap garis $y=3$ menghasilkan bayangan $y=-x^2-2x+5$. Tentukanlah persamaan parabola tersebut.

Jawab:

Persamaan bayangan : $y=-x^2-2x+5$  bisa ditulis dengan $y^{\prime }=-(x^{\prime }{)}^2-2x^{\prime }+5$

$A(x,y)\stackrel{C_{y=3}}{\to }{A}^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime })$

$\begin{array}{rl}\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)& =\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0\\ 2(3)\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{c}x\\ -y\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0\\ 6\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{c}x\\ -y+6\end{array}\right)\end{array}$

Sehingga diperoleh

$x^{\prime }=x$

$y^{\prime }=-y+6$

Substitusi nilai $x^{\prime }$ dan $y^{\prime }$ pada persamaan bayangan $y^{\prime }=-(x^{\prime }{)}^2-2x^{\prime }+5$ sehingga diperoleh

$\begin{array}{rl}{y}^{\prime }& =-(x^{\prime }{)}^2-2x^{\prime }+5\\ -y+6& =-x^2-2x+5\\ -y& =-x^2-2x+5-6\\ y& =x^2+2x+1\end{array}$

Jadi, persamaan parabola tersebut adalah $y=x^2+2x+1$

Demikianlah beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi transformasi refleksi. Semoga bermanfaat. 

Referensi

E. S., Pesta  dan Cecep Anwar H. F. S. 2008. Matematika aplikasi : untuk SMA dan MA kelas XII program studi ilmu alam. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional. 

Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan. 2014. Matematika untuk SMA/MA/SMK/MAK Kelas XI Semester 2. Jakarta: Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.