Contoh Soal Deret Geometri Tak Hingga beserta Pembahasannya

Deret Geometri Tak Hingga

Deret geometri tak hingga (dinotasikan dengan $S_{\mathrm{\infty }}$) adalah deret geometri yang banyak sukunya tidak terbatas (tak hingga).

Deret geometri tak hingga terdiri dari dua kasus :

$\bullet$ Deret geometri konvergen (memusat)

Jika $-1<r<1$, maka $S_{\mathrm{\infty }}={\displaystyle \frac{a}{1-r}}$

$\bullet$ Deret geometri divergen (memencar)

Jika $r<-1$ atau $r>1$, maka $S_{\mathrm{\infty }}=\pm \mathrm{\infty }$

Deret Geometri Tak Hingga Suku-suku bernomor Ganjil dan Genap

Misalkan terdapat deret geometri tak hingga $S_{\mathrm{\infty }}=U_1+U_2+U_3+U_4+U_5+U_6+...$

Maka deret geometri tak hingga tersebut dapat dibagi menjadi dua bagian yaitu suku-suku bernomor ganjil dan genap.

$\begin{array}{rl}{S}_{\mathrm{\infty }}& =U_1+U_2+U_3+U_4+U_5+U_6+...\\ S_{\mathrm{\infty }}& =(U_1+U_3+U_5+...)+(U_2+U_4+U_6+...)\\ S_{\mathrm{\infty }}& =S_{\mathrm{\infty }\text{ ganjil}}+S_{\mathrm{\infty }\text{ genap}}\end{array}$

$\bullet$ Rumus deret geometri tak hingga suku-suku bernomor ganjil dapat diperoleh sebagai berikut.

$\begin{array}{rl}{S}_{\mathrm{\infty }\text{ ganjil}}& =U_1+U_3+U_5+...\\ & =a+a{r}^2+a{r}^4+...\\ \\ \text{rasio}& =\frac{a{r}^2}{a}=r^2\\ \\ \text{suku pertama}& =a\\ \\ S_{\mathrm{\infty }\text{ ganjil}}& =\frac{a}{1-r^2}\end{array}$

$\bullet$ Rumus deret geometri tak hingga suku-suku bernomor genap dapat diperoleh sebagai berikut.

$\begin{array}{rl}{S}_{\mathrm{\infty }\text{ genap}}& =U_2+U_4+U_6+...\\ & =ar+a{r}^3+a{r}^5+...\\ \\ \text{rasio}& =\frac{a{r}^3}{ar}=r^2\\ \\ \text{suku pertama}& =ar\\ \\ S_{\mathrm{\infty }\text{ genap}}& =\frac{ar}{1-r^2}\end{array}$

$\bullet$ Rasio deret geometri tak hingga suku-suku bernomor ganjil dan genap dapat ditentukan dengan rumus berikut

$r=\frac{S_{\mathrm{\infty }\text{ genap}}}{S_{\mathrm{\infty }\text{ ganjil}}}$ 

Berikut ini contoh-contoh soal deret geometri tak hingga.

Contoh soal 1

Tentukanlah batas-batas nilai $x$ agar deret geometri  $(x-2)+(x-2{)}^2+(x-2{)}^3+...$ konvergen.

Jawab:

Rasio dari deret geometri $(x-2)+(x-2{)}^2+(x-2{)}^3+...$ adalah $r=\frac{(x-2{)}^2}{(x-2)}=x-2$

Agar deret geometri tersebut konvergen, haruslah $-1<x-2<1$ sehingga $1<x<3$

Contoh soal 2

Tentukan jumlah dari $1+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+...$

Jawab:

Deret geometri tak hingga : $1+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+...$

Dari deret tersebut diketahui $a=1$ dan $r=\frac{1}{4}$ sehingga

$\begin{array}{rl}{S}_{\mathrm{\infty }}& ={\displaystyle \frac{a}{1-r}}\\ & =\frac{1}{1-\frac{1}{4}}\\ & =\frac{1}{\frac{3}{4}}\\ & =\frac{4}{3}\end{array}$

Jadi, jumlah dari $1+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+...$ adalah $\frac{4}{3}$

Contoh soal 3

Tentukan nilai dari ${10}^{2+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...}$

Jawab:

Perhatikan deret geometri tak hingga : $2+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...$ 

Dari deret tersebut diperoleh $a=2$ dan $r=\frac{1}{2}$ sehingga

$\begin{array}{rl}{S}_{\mathrm{\infty }}& ={\displaystyle \frac{a}{1-r}}\\ & =\frac{2}{1-\frac{1}{2}}\\ & =\frac{2}{\frac{1}{2}}\\ & =4\end{array}$

Jadi, ${10}^{2+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...}={10}^4=10000$

Contoh soal 4

Diketahui deret geometri dirumuskan dengan $U_n=5^{-n}$. Tentukan jumlah tak hingga dari deret tersebut.

Jawab:

Rasio deret geometri tersebut adalah 

$\begin{array}{rl}r& =\frac{U_n}{U_{n-1}}\\ & =\frac{5^{-n}}{5^{-(n-1)}}\\ & =\frac{5^{-n}}{5^{-n}\cdot 5}\\ & =\frac{1}{5}\end{array}$

$\begin{array}{rl}{U}_n& =5^{-n}\\ U_1& =5^{-1}\\ & =\frac{1}{5}\end{array}$

Sehingga dapat diperoleh

$\begin{array}{rl}{S}_{\mathrm{\infty }}& ={\displaystyle \frac{a}{1-r}}\\ & =\frac{\frac{1}{5}}{1-\frac{1}{5}}\\ & =\frac{\frac{1}{5}}{\frac{4}{5}}\\ & =\frac{1}{4}\end{array}$

Jadi, $S_{\mathrm{\infty }}=\frac{1}{4}$

Contoh soal 5

Diketahui suku pertama deret geometri adalah $36$ dan jumlah tak hingga dari deret tersebut adalah $18$. Tentukanlah rasionya.

Jawab:

Diketahui $a=36$ dan $S_{\mathrm{\infty }}=18$

Sehingga dapat diperoleh

$\begin{array}{rl}{S}_{\mathrm{\infty }}& ={\displaystyle \frac{a}{1-r}}\\ 18& =\frac{36}{1-r}\\ 1-r& =\frac{36}{18}\\ 1-r& =2\\ r& =-1\end{array}$

Jadi, rasionya adalah $-1$

Contoh soal 6

Diketahui rasio deret geometri adalah $\frac{1}{2}$ dan jumlah tak hingga dari deret tersebut adalah $4$. Tentukanlah suku pertamanya.

Jawab:

Diketahui $r=\frac{1}{2}$ dan $S-\mathrm{\infty }=4$

Sehingga dapat diperoleh

$\begin{array}{rl}{S}_{\mathrm{\infty }}& ={\displaystyle \frac{a}{1-r}}\\ 4& =\frac{a}{1-\frac{1}{2}}\\ 4& =\frac{a}{\frac{1}{2}}\\ 4& =2a\\ a& =2\end{array}$

Jadi, suku pertamanya adalah $2$

Contoh soal 7

Sebuah bola tenis dijatuhkan dari ketinggian $20$m dan memantul kembali dengan ketinggian $\frac{3}{7}$ kali ketinggian semula. Pemantulan terjadi terus-menerus sampai bola berhenti. Tentukanlah jumlah seluruh lintasan bola yang terjadi.

Jawab:

Diketahui : $a=20$ dan $r=\frac{3}{7}$

Panjang lintasan ($PL$) dapat dihitung sebagai berikut

$\begin{array}{rl}PL& =2.S_{\mathrm{\infty }}-a\\ & =2({\displaystyle \frac{a}{1-r}})-a\\ & =2(\frac{20}{1-\frac{3}{7}})-20\\ & =70-20\\ & =50\end{array}$

Jadi, panjang seluruh lintasan bola adalah $50$m

Contoh soal 8

Diketahui jumlah semua suku dari deret geometri tak hingga adalah $12$. Jumlah suku-suku bernomor genap adalah $4$. Tentukan suku ke-7 dari suku-suku bernomor ganjil. 

Jawab:

Diketahui : $S_{\mathrm{\infty }}=12$ dan $S_{\mathrm{\infty }\text{ genap}}=4$

$\begin{array}{rl}{S}_{\mathrm{\infty }}& =S_{\mathrm{\infty }\text{ ganjil}}+S_{\mathrm{\infty }\text{ genap}}\\ 12& =S_{\mathrm{\infty }\text{ ganjil}}+4\\ S_{\mathrm{\infty }\text{ ganjil}}& =8\end{array}$

$\begin{array}{rl}r& =\frac{S_{\mathrm{\infty }\text{ genap}}}{S_{\mathrm{\infty }\text{ ganjil}}}\\ & =\frac{4}{8}\\ & =\frac{1}{2}\end{array}$

$\begin{array}{rl}{S}_{\mathrm{\infty }}& =\frac{a}{1-r}\\ 12& =\frac{a}{1-\frac{1}{2}}\\ 12& =\frac{a}{\frac{1}{2}}\\ a& =6\end{array}$

Jadi, suku ketujuhnya adalah 

$\begin{array}{rl}{U}_7& =a{r}^6\\ & =6.(\frac{1}{2}{)}^6\\ & =\frac{6}{64}\end{array}$

Demikianlah beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi deret geometri tak hingga. Semoga bermanfaat. 

Referensi:

E. S., Pesta  dan Cecep Anwar H. F. S. 2008. Matematika aplikasi : untuk SMA dan MA kelas XII program studi ilmu alam. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional. 

Lestari, Sri dan Diah Ayu Kurniasih. 2009. Matematika 3: untuk SMA/MA Program Studi Bahasa Kelas XII. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.

Siswanto dan Umi Supraptinah. 2009. Matematika Inovatif 3: Konsep dan Aplikasinya untuk Kelas XII SMA dan MA Program Ilmu Pengetahuan Sosial. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.

Y., Rosihan Ari dan Indriyastuti. 2009. Khasanah Matematika 3: untuk kelas XII SMA/MA Program Bahasa. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.