Contoh Soal Deret Geometri Tak Hingga beserta Pembahasannya
Deret Geometri Tak Hingga
Deret geometri tak hingga (dinotasikan dengan $S_{\infty}$) adalah deret geometri yang banyak sukunya tidak terbatas (tak hingga).
Deret geometri tak hingga terdiri dari dua kasus :
$\bullet$ Deret geometri konvergen (memusat)
Jika $-1<r<1$, maka $S_{\infty} = \dfrac{a}{1 - r}$
$\bullet$ Deret geometri divergen (memencar)
Jika $r<-1$ atau $r>1$, maka $S_{\infty} = \pm~ \infty $
Deret Geometri Tak Hingga Suku-suku bernomor Ganjil dan Genap
Misalkan terdapat deret geometri tak hingga $S_{\infty} = U_1 + U_2 + U_3 + U_4 + U_5 + U_6 + ...$
Maka deret geometri tak hingga tersebut dapat dibagi menjadi dua bagian yaitu suku-suku bernomor ganjil dan genap.
$\begin{aligned} S_{\infty} &= U_1 + U_2 + U_3 + U_4 + U_5 + U_6+ ... \\ S_{\infty} &= (U_1 + U_3 + U_5+... ) + (U_2 + U_4 + U_6+ ...) \\ S_{\infty} &= S_{\infty \text{ ganjil}} + S_{\infty \text{ genap}} \end{aligned}$
$\bullet$ Rumus deret geometri tak hingga suku-suku bernomor ganjil dapat diperoleh sebagai berikut.
$\begin{aligned} S_{\infty \text{ ganjil}} & = U_1 + U_3 + U_5+... \\ & = a + ar^2 + ar^4 +... \\ \\ \text{rasio} &= \frac{ar^2}{a} = r^2 \\ \\ \text{suku pertama} &= a \\ \\ S_{\infty \text{ ganjil}} &= \frac{a}{1 - r^2} \end{aligned}$
$\bullet$ Rumus deret geometri tak hingga suku-suku bernomor genap dapat diperoleh sebagai berikut.
$\begin{aligned} S_{\infty \text{ genap}} & = U_2 + U_4 + U_6+... \\ &= ar + ar^3 + ar^5 +... \\ \\ \text{rasio} &= \frac{ar^3}{ar} = r^2 \\ \\ \text{suku pertama} &= ar \\ \\ S_{\infty \text{ genap}} & = \frac{ar}{1 - r^2} \end{aligned}$
$\bullet$ Rasio deret geometri tak hingga suku-suku bernomor ganjil dan genap dapat ditentukan dengan rumus berikut
$r = \frac{S_{\infty \text{ genap}}}{S_{\infty \text{ ganjil}}}$
Berikut ini contoh-contoh soal deret geometri tak hingga.
Contoh soal 1
Tentukanlah batas-batas nilai $x$ agar deret geometri $(x-2)+(x-2)^{2}+(x-2)^{3}+~ ...$ konvergen.
Jawab:
Rasio dari deret geometri $(x-2)+(x-2)^{2}+(x-2)^{3}+~ ...$ adalah $r=\frac{(x-2)^{2}}{(x-2)}=x-2$
Agar deret geometri tersebut konvergen, haruslah $-1<x-2<1$ sehingga $1<x<3$
Contoh soal 2
Tentukan jumlah dari $1+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+~ ...$
Jawab:
Deret geometri tak hingga : $1+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+~ ...$
Dari deret tersebut diketahui $a=1$ dan $r=\frac{1}{4}$ sehingga
$\begin{aligned} S_{\infty} &= \dfrac{a}{1 - r} \\ &= \frac{1}{1-\frac{1}{4}} \\ &= \frac{1}{\frac{3}{4}}\\ &= \frac{4}{3} \end{aligned}$
Jadi, jumlah dari $1+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+~ ...$ adalah $\frac{4}{3}$
Contoh soal 3
Tentukan nilai dari $10^{2+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+ ~ ...}$
Jawab:
Perhatikan deret geometri tak hingga : $2+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+ ~ ...$
Dari deret tersebut diperoleh $a=2$ dan $r=\frac{1}{2}$ sehingga
$\begin{aligned} S_{\infty} &= \dfrac{a}{1 - r} \\ &= \frac{2}{1-\frac{1}{2}} \\ &= \frac{2}{\frac{1}{2}}\\ &= 4 \end{aligned}$
Jadi, $10^{2+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+ ~ ...}=10^{4}=10000$
Contoh soal 4
Diketahui deret geometri dirumuskan dengan $U_{n}=5^{-n}$. Tentukan jumlah tak hingga dari deret tersebut.
Jawab:
Rasio deret geometri tersebut adalah
$\begin{aligned} r&=\frac{U_{n}}{U_{n-1}} \\ &= \frac{5^{-n}}{5^{-(n-1)}}\\ &= \frac{5^{-n}}{5^{-n} \cdot 5}\\ &= \frac{1}{5} \end{aligned}$
$\begin{aligned} U_{n}&=5^{-n}\\ U_{1}&=5^{-1}\\ &=\frac{1}{5} \end{aligned}$
Sehingga dapat diperoleh
$\begin{aligned} S_{\infty} &= \dfrac{a}{1 - r} \\ &= \frac{\frac{1}{5}}{1-\frac{1}{5}} \\ &= \frac{\frac{1}{5}}{\frac{4}{5}}\\ &= \frac{1}{4} \end{aligned}$
Jadi, $S_{\infty}=\frac{1}{4}$
Contoh soal 5
Diketahui suku pertama deret geometri adalah $36$ dan jumlah tak hingga dari deret tersebut adalah $18$. Tentukanlah rasionya.
Jawab:
Diketahui $a=36$ dan $S_{\infty}=18$
Sehingga dapat diperoleh
$\begin{aligned} S_{\infty} &= \dfrac{a}{1 - r} \\ 18 &= \frac{36}{1-r} \\ 1-r&= \frac{36}{18}\\ 1-r&= 2 \\ r&=-1 \end{aligned}$
Jadi, rasionya adalah $-1$
Contoh soal 6
Diketahui rasio deret geometri adalah $\frac{1}{2}$ dan jumlah tak hingga dari deret tersebut adalah $4$. Tentukanlah suku pertamanya.
Jawab:
Diketahui $r=\frac{1}{2}$ dan $S-{\infty}=4$
Sehingga dapat diperoleh
$\begin{aligned} S_{\infty} &= \dfrac{a}{1 - r} \\ 4 &= \frac{a}{1-\frac{1}{2}} \\ 4&= \frac{a}{\frac{1}{2}}\\ 4&= 2a \\ a&=2 \end{aligned}$
Jadi, suku pertamanya adalah $2$
Contoh soal 7
Sebuah bola tenis dijatuhkan dari ketinggian $20$m dan memantul kembali dengan ketinggian $\frac{3}{7}$ kali ketinggian semula. Pemantulan terjadi terus-menerus sampai bola berhenti. Tentukanlah jumlah seluruh lintasan bola yang terjadi.
Jawab:
Diketahui : $a=20$ dan $r=\frac{3}{7}$
Panjang lintasan ($PL$) dapat dihitung sebagai berikut
$\begin{aligned} PL &= 2.S_{\infty}-a \\ &= 2(\dfrac{a}{1 - r})-a \\ &= 2(\frac{20}{1-\frac{3}{7}})-20 \\ &= 70-20 \\ &= 50 \end{aligned}$
Jadi, panjang seluruh lintasan bola adalah $50$m
Contoh soal 8
Diketahui jumlah semua suku dari deret geometri tak hingga adalah $12$. Jumlah suku-suku bernomor genap adalah $4$. Tentukan suku ke-7 dari suku-suku bernomor ganjil.
Jawab:
Diketahui : $S_{\infty}=12$ dan $S_{\infty \text{ genap}}=4$
$\begin{aligned} S_{\infty} &= S_{\infty \text{ ganjil}} + S_{\infty \text{ genap}} \\ 12 &= S_{\infty \text{ ganjil}} + 4\\ S_{\infty \text{ ganjil}} &= 8 \end{aligned}$
$\begin{aligned} r &= \frac{S_{\infty \text{ genap}}}{S_{\infty \text{ ganjil}}} \\ &= \frac{4}{8}\\ &= \frac{1}{2} \end{aligned}$
$\begin{aligned} S_{\infty} &= \frac{a}{1 - r}\\ 12 &= \frac{a}{1 - \frac{1}{2}} \\ 12 &= \frac{a}{\frac{1}{2}}\\ a &= 6 \end{aligned}$
Jadi, suku ketujuhnya adalah
$\begin{aligned} U_{7} &= ar^{6}\\ &= 6.(\frac{1}{2})^{6}\\ &= \frac{6}{64} \end{aligned}$
Demikianlah beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi deret geometri tak hingga. Semoga bermanfaat.
Referensi:
E. S., Pesta dan Cecep Anwar H. F. S. 2008. Matematika aplikasi : untuk SMA dan MA kelas XII program studi ilmu alam. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.
Lestari, Sri dan Diah Ayu Kurniasih. 2009. Matematika 3: untuk SMA/MA Program Studi Bahasa Kelas XII. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.
Siswanto dan Umi Supraptinah. 2009. Matematika Inovatif 3: Konsep dan Aplikasinya untuk Kelas XII SMA dan MA Program Ilmu Pengetahuan Sosial. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.
Y., Rosihan Ari dan Indriyastuti. 2009. Khasanah Matematika 3: untuk kelas XII SMA/MA Program Bahasa. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.
