Contoh Soal Barisan dan Deret Geometri beserta Pembahasannya
Barisan dan Deret Geometri
$\bullet$ Barisan geometri adalah suatu barisan bilangan yang perbandingan setiap suku dengan suku sebelumnya selalu sama. Perbandingan antara dua suku berurutannya tersebut disebut dengan rasio $(r=\frac{U_{n}}{U_{n-1}})$.
Rumus umum suku ke-n barisan geometri adalah $U_{n}=ar^{n-1}$
dimana
$\begin{aligned} U_{n} &= \text{suku ke-n} \\ a &= \text{suku pertama} \\ r &= \text{rasio} \\ n &= \text{banyaknya suku} \end{aligned}$
$\bullet$ Deret geometri adalah penjumlahan dari suku-suku suatu barisan geometri.
Rumus umum jumlah $n$ suku pertama deret geometri adalah
$\begin{aligned} S_{n}&= \frac{a(r^{n}-1)}{r-1}~\text{, untuk r>1} \\ \\ S_{n}&= \frac{a(1-r^{n})}{1-r}~\text{, untuk r<1} \end{aligned}$
keterangan :
$\begin{aligned} S_{n} &= \text{jumlah n suku pertama} \\ a &= \text{suku pertama} \\ r &= \text{rasio} \\ n &= \text{banyaknya suku} \end{aligned}$
Rumus Suku Tengah Barisan Geometri
Barisan geometri yang jumlahnya ganjil dan minimal terdiri dari 3 suku memiliki suku tengah $U_t = \sqrt{a.U_n}$
dimana
$\begin{aligned} U_{t} &= \text{suku tengah} \\ a &= \text{suku pertama} \\ U_{n} &= \text{suku ke-n/suku terakhir} \end{aligned}$
Rumus Sisipan Barisan Geometri
Jika setiap dua suku berurutan pada barisan geometri disisipkan $k$ suku, maka barisan geometri yang baru mempunyai:
$\begin{aligned} r' &= \sqrt[k + 1]{\frac{U_n}{a}}~\text{, untuk k genap} \\ \\ r' &= \pm \sqrt[k + 1]{\frac{U_n}{a}}~\text{, untuk k ganjil} \\ \\ n'&=n+(n-1)k \end{aligned}$
dengan :
$\begin{aligned} r' &= \text{rasio setelah disisipi } \\ k &= \text{banyak bilangan yang disisipkan} \\a &= \text{suku pertama} \\ U_{n} &= \text{suku ke-n/suku terakhir} \\ n' &= \text{banyaknya suku setelah disisipi} \\ n &= \text{banyaknya suku sebelum disisipi} \end{aligned}$
Berikut ini contoh-contoh soal barisan dan deret geometri.
Contoh soal 1
Diketahui barisan geometri $ \frac{1}{x+1}, \frac{1}{x^{2}+2x+1}, \frac{1}{x^{3}+3x^{2}+3x+1}, ...$ Tentukanlah rumus suku ke-n dan suku ke-5.
Jawab:
Rasio dari barisan geometri diatas adalah
$\begin{aligned} \frac{\frac{1}{x^{2}+2x+1}}{ \frac{1}{x+1}} = \frac{1}{x+1} \end{aligned}$
Sehingga diperoleh $a=\frac{1}{x+1}$ dan $r=\frac{1}{x+1} $
$\bullet$ rumus suku ke-n barisan geometri tersebut adalah
$\begin{aligned} U_{n}&=ar^{n-1} \\ &= (\frac{1}{x+1})(\frac{1}{x+1})^{n-1} \\ &= \frac{1}{(x+1)^{n}} \end{aligned}$
$\bullet$ suku ke-5 barisan geometri tersebut adalah
$\begin{aligned} U_{5} &= \frac{1}{(x+1)^{5}} \\ &= \frac{1}{x^{5}+5x^{4}+10x^{3}+10x^{2}+5x+1} \end{aligned}$
Contoh soal 2
Bilangan $k-2, k-6,$ dan $2k+3$, untuk $k>0$ membentuk tiga suku pertama dari deret geometri. Tentukan ketiga bilangan tersebut.
Jawab:
$\begin{aligned} \frac{2k+3}{ k-6} &= \frac{ k-6}{k-2} \\ (2k+3)(k-2) &=(k-6)(k-6) \\ 2k^{2}-k-6&=k^{2}-12k+36 \\ k^{2}+11k-42 &=0 \\ (k+14)(k-3) &=0 \\ k=-14 \vee k&=3 \end{aligned}$
Yang memenuhi adalah $k=3$ karena $k>0$
Sehingga diperoleh,
$\begin{aligned} & \bullet ~k-2 =3-2=1 \\ & \bullet~ k-6 = 3-6=-3 \\ & \bullet~ 2k+3=2.3+3=9 \end{aligned}$
Jadi, ketiga bilangan tersebut adalah $1, -3,$ dan $9$
Contoh soal 3
Tiga bilangan membentuk barisan geometri. Jumlah ketiga bilangan itu adalah $35$ dan hasil kalinya $1000$. Tentukan ketiga bilangan tersebut.
Jawab:
Misalkan ketiga bilangan tersebut adalah $\frac{a}{r}, a, ar$
Jumlah ketiga bilangan itu adalah $35$ sehingga diperoleh :
$\frac{a}{r}+ a+ ar=35...(1)$
Hasil kalinya $1000$ sehingga diperoleh :
$\begin{aligned} \frac{a}{r}\cdot a \cdot ar &= 1000 \\ a^{3}&=1000 \\ a&=10 ~ ...(2) \end{aligned}$
Substitusi (2) ke pers (1) diperoleh
$\begin{aligned} \frac{10}{r}+ 10+ 10r&=35 \\ 10+ 10r+ 10r^{2}&=35r \\ 10r^{2}-25r+10&=0 \\ (r-20)(r-5)&=0 \\ r=20 \vee r&=5 \end{aligned}$
untuk $r=20$ dan $a=10$, ketiga bilangan tersebut adalah $\frac{1}{2}, 10, 200$
untuk $r=5$ dan $a=10$, ketiga bilangan tersebut adalah $2, 10, 50$
Contoh soal 4
Jika suku pertama dan ketiga dari barisan geometri masing-masing adalah $\sqrt [3]{m}$ dan $m$, untuk $m>0$. Tentukan suku ke-15 dan ke-18
Jawab:
$U_{1}=a \rightarrow a=\sqrt [3]{m} $
$\begin{aligned} U_{3}=ar^{2} \rightarrow ~~~~ar^{2}&=m \\ \sqrt [3]{m}. r^{2}&=m \\ r^{2}&=\frac{m}{\sqrt [3]{m}} \\ r^{2}&= (\sqrt [3]{m})^{2}\\ r&= \sqrt [3]{m} \end{aligned}$
Jadi, diperoleh
$U_{15}=ar^{14}= (\sqrt [3]{m})(\sqrt [3]{m})^{14}= (\sqrt [3]{m})^{15}= m^{5} $
$U_{18}=ar^{17}= (\sqrt [3]{m})(\sqrt [3]{m})^{17}= (\sqrt [3]{m})^{18}= m^{6} $
Contoh soal 5
Suku ke-2 suatu deret geometri adalah $10$ dan suku ke-5 adalah $80$. Tentukanlah jumlah $6$ suku pertama deret tersebut.
Jawab:
$U_{2}=ar \rightarrow ar=10$
$\begin{aligned} U_{5}=ar^{4} \rightarrow ~~~~ar^{4}&=80\\ ar.r^{3}&=80\\ 10.r^{3}&= 80\\ r^{3}&=8 \\ r&=2 \end{aligned}$
$\begin{aligned} ar&=10\\ a.2&=10 \\ a&= 5 \end{aligned}$
Sehingga dapat diperoleh
$\begin{aligned} S_{6}&= \frac{5(2^{6}-1)}{2-1}\\ &= 5.(63)\\&=315 \end{aligned}$
Contoh soal 6
Tentukan nilai $x$ agar $4+4^{2}+4^{3}+...+4^{x}=1364$
Jawab:
Deret diatas merupakan deret geometri dengan $a=4$ dan $r=4$.
Sehingga,
$\begin{aligned} S_{n}&= \frac{a(r^{n}-1)}{r-1} \\ 1364 &= \frac{4(4^{n}-1)}{4-1} \\ 1364 &= \frac{4}{3} \cdot 4^{n}-1 \\ 1023 &= 4^{n}-1 \\ 1024 &= 4^{n} \\ 4^{5} &= 4^{n} \\ n&=5 \end{aligned}$
Karena banyaknya suku pada deret geometri diatas adalah $5$ maka nilai $x=5$
Contoh soal 7
Diantara bilangan $7$ dan $448$ disisipkan dua bilangan sehingga keempat bilangan tersebut membentuk barisan geometri. Tentukan barisan geometri yang terbentuk.
Jawab:
Diketahui $k=2$
sehingga
$\begin{aligned} r' &= \sqrt[k + 1]{\frac{U_n}{a}} \\ &= \sqrt[2 + 1]{\frac{448}{7}}\\ &= \sqrt[3]{64}\\ &= 4 \end{aligned}$
Jadi, barisan geometri yang terbentuk adalah $7,28,112,448$
Contoh soal 8
Diketahui suatu barisan geometri $\frac{1}{64}, \frac{1}{16}, \frac{1}{4}, ... , 1024$. Jika banyaknya suku pada barisan geometri tersebut ganjil. Tentukan suku tengahnya dan merupakan suku keberapa.
Jawab:
Barisan geometri : $\frac{1}{64}, \frac{1}{16}, \frac{1}{4}, ... , 1024$
Sehingga diperoleh
$a=\frac{1}{64} $
$\begin{aligned} r &= \frac{\frac{1}{16}}{\frac{1}{64}}\\ &= 4 \end{aligned}$
$\begin{aligned} U_t &= \sqrt{a.U_n} \\ &= \sqrt{\frac{1}{64}.1024}\\ &= \sqrt{16} \\&=4 \end{aligned}$
Jadi, suku tengahnya adalah $4$
$\begin{aligned} U_{t}&=ar^{t-1} \\ 4 &= \frac{1}{64}.4^{t-1} \\ 256 &= 4^{t-1}\\ 4^{4}&= 4^{t-1}\\ 4&=t-1\\ t &= 5 \end{aligned}$
Jadi, suku tengahnya merupakan suku ke-$5$
Demikianlah beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi barisan dan deret geometri. Semoga bermanfaat.
Referensi:
E. S., Pesta dan Cecep Anwar H. F. S. 2008. Matematika aplikasi : untuk SMA dan MA kelas XII program studi ilmu alam. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.
Lestari, Sri dan Diah Ayu Kurniasih. 2009. Matematika 3: untuk SMA/MA Program Studi Bahasa Kelas XII. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.
Siswanto dan Umi Supraptinah. 2009. Matematika Inovatif 3: Konsep dan Aplikasinya untuk Kelas XII SMA dan MA Program Ilmu Pengetahuan Sosial. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.
Y., Rosihan Ari dan Indriyastuti. 2009. Khasanah Matematika 3: untuk kelas XII SMA/MA Program Bahasa. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.
