Contoh Soal Barisan dan Deret Geometri beserta Pembahasannya

Barisan dan Deret Geometri

$\bullet$ Barisan geometri adalah suatu barisan bilangan yang perbandingan setiap suku dengan suku sebelumnya selalu sama. Perbandingan antara dua suku berurutannya tersebut disebut dengan rasio $(r=\frac{U_n}{U_{n-1}})$.

Rumus umum suku ke-n barisan geometri adalah $U_n=a{r}^{n-1}$

dimana 

$\begin{array}{rl}{U}_n& =\text{suku ke-n}\\ a& =\text{suku pertama}\\ r& =\text{rasio}\\ n& =\text{banyaknya suku}\end{array}$

$\bullet$ Deret geometri adalah penjumlahan dari suku-suku suatu barisan geometri.

Rumus umum jumlah $n$ suku pertama deret geometri adalah 

$\begin{array}{rl}{S}_n& =\frac{a(r^n-1)}{r-1}\text{, untuk r>1}\\ \\ S_n& =\frac{a(1-r^n)}{1-r}\text{, untuk r<1}\end{array}$ 

keterangan :

$\begin{array}{rl}{S}_n& =\text{jumlah n suku pertama}\\ a& =\text{suku pertama}\\ r& =\text{rasio}\\ n& =\text{banyaknya suku}\end{array}$

Rumus Suku Tengah Barisan Geometri

Barisan geometri yang jumlahnya ganjil dan minimal terdiri dari 3 suku memiliki suku tengah $U_t=\sqrt{a.U_n}$

dimana

$\begin{array}{rl}{U}_t& =\text{suku tengah}\\ a& =\text{suku pertama}\\ U_n& =\text{suku ke-n/suku terakhir}\end{array}$

Rumus Sisipan Barisan Geometri

Jika setiap dua suku berurutan pada barisan geometri disisipkan $k$ suku, maka barisan geometri yang baru mempunyai:

$\begin{array}{rl}{r}^{\prime }& =\sqrt[k+1]{\frac{U_n}{a}}\text{, untuk k genap}\\ \\ r^{\prime }& =\pm \sqrt[k+1]{\frac{U_n}{a}}\text{, untuk k ganjil}\\ \\ n^{\prime }& =n+(n-1)k\end{array}$ 

dengan :

$\begin{array}{rl}{r}^{\prime }& =\text{rasio setelah disisipi }\\ k& =\text{banyak bilangan yang disisipkan}\\ a& =\text{suku pertama}\\ U_n& =\text{suku ke-n/suku terakhir}\\ n^{\prime }& =\text{banyaknya suku setelah disisipi}\\ n& =\text{banyaknya suku sebelum disisipi}\end{array}$

Berikut ini contoh-contoh soal barisan dan deret geometri.

Contoh soal 1

Diketahui barisan geometri $\frac{1}{x+1},\frac{1}{x^2+2x+1},\frac{1}{x^3+3x^2+3x+1},...$  Tentukanlah rumus suku ke-n dan suku ke-5.

Jawab:

Rasio dari barisan geometri diatas adalah 

$\begin{array}{r}\frac{\frac{1}{x^2+2x+1}}{\frac{1}{x+1}}=\frac{1}{x+1}\end{array}$

Sehingga diperoleh $a=\frac{1}{x+1}$ dan $r=\frac{1}{x+1}$

$\bullet$ rumus suku ke-n barisan geometri tersebut adalah

$\begin{array}{rl}{U}_n& =a{r}^{n-1}\\ & =(\frac{1}{x+1})(\frac{1}{x+1}{)}^{n-1}\\ & =\frac{1}{(x+1{)}^n}\end{array}$

$\bullet$ suku ke-5 barisan geometri tersebut adalah

$\begin{array}{rl}{U}_5& =\frac{1}{(x+1{)}^5}\\ & =\frac{1}{x^5+5x^4+10x^3+10x^2+5x+1}\end{array}$

Contoh soal 2

Bilangan $k-2,k-6,$ dan $2k+3$, untuk $k>0$ membentuk tiga suku pertama dari deret geometri. Tentukan ketiga bilangan tersebut.

Jawab:

$\begin{array}{rl}\frac{2k+3}{k-6}& =\frac{k-6}{k-2}\\ (2k+3)(k-2)& =(k-6)(k-6)\\ 2k^2-k-6& =k^2-12k+36\\ k^2+11k-42& =0\\ (k+14)(k-3)& =0\\ k=-14\vee k& =3\end{array}$

Yang memenuhi adalah $k=3$ karena $k>0$

Sehingga diperoleh,

$\begin{array}{rl}& \bullet k-2=3-2=1\\ & \bullet k-6=3-6=-3\\ & \bullet 2k+3=2.3+3=9\end{array}$

Jadi, ketiga bilangan tersebut adalah $1,-3,$ dan $9$

Contoh soal 3

Tiga bilangan membentuk barisan geometri. Jumlah ketiga bilangan itu adalah $35$ dan hasil kalinya $1000$. Tentukan ketiga bilangan tersebut.

Jawab:

Misalkan ketiga bilangan tersebut adalah $\frac{a}{r},a,ar$

Jumlah ketiga bilangan itu adalah $35$ sehingga diperoleh :

$\frac{a}{r}+a+ar=35...(1)$

Hasil kalinya $1000$ sehingga diperoleh :

$\begin{array}{rl}\frac{a}{r}\cdot a\cdot ar& =1000\\ a^3& =1000\\ a& =10...(2)\end{array}$

Substitusi (2) ke pers (1) diperoleh

$\begin{array}{rl}\frac{10}{r}+10+10r& =35\\ 10+10r+10r^2& =35r\\ 10r^2-25r+10& =0\\ (r-20)(r-5)& =0\\ r=20\vee r& =5\end{array}$

untuk $r=20$ dan $a=10$, ketiga bilangan tersebut adalah $\frac{1}{2},10,200$

untuk $r=5$ dan $a=10$, ketiga bilangan tersebut adalah $2,10,50$

Contoh soal 4 

Jika suku pertama dan ketiga dari barisan geometri masing-masing adalah $\sqrt[3]{m}$ dan $m$, untuk $m>0$. Tentukan suku ke-15 dan ke-18

Jawab:

$U_1=a\to a=\sqrt[3]{m}$

$\begin{array}{rl}{U}_3=a{r}^2\to a{r}^2& =m\\ \sqrt[3]{m}.r^2& =m\\ r^2& =\frac{m}{\sqrt[3]{m}}\\ r^2& =(\sqrt[3]{m}{)}^2\\ r& =\sqrt[3]{m}\end{array}$

Jadi, diperoleh

$U_{15}=a{r}^{14}=(\sqrt[3]{m})(\sqrt[3]{m}{)}^{14}=(\sqrt[3]{m}{)}^{15}=m^5$

$U_{18}=a{r}^{17}=(\sqrt[3]{m})(\sqrt[3]{m}{)}^{17}=(\sqrt[3]{m}{)}^{18}=m^6$

Contoh soal 5

Suku ke-2 suatu deret geometri adalah $10$ dan suku ke-5 adalah $80$. Tentukanlah jumlah $6$ suku pertama deret tersebut.

Jawab:

$U_2=ar\to ar=10$

$\begin{array}{rl}{U}_5=a{r}^4\to a{r}^4& =80\\ ar.r^3& =80\\ 10.r^3& =80\\ r^3& =8\\ r& =2\end{array}$

$\begin{array}{rl}ar& =10\\ a.2& =10\\ a& =5\end{array}$

Sehingga dapat diperoleh

$\begin{array}{rl}{S}_6& =\frac{5(2^6-1)}{2-1}\\ & =5.(63)\\ & =315\end{array}$

Contoh soal 6

Tentukan nilai $x$ agar $4+4^2+4^3+...+4^x=1364$

Jawab:

Deret diatas merupakan deret geometri dengan $a=4$ dan $r=4$.

Sehingga,

$\begin{array}{rl}{S}_n& =\frac{a(r^n-1)}{r-1}\\ 1364& =\frac{4(4^n-1)}{4-1}\\ 1364& =\frac{4}{3}\cdot 4^n-1\\ 1023& =4^n-1\\ 1024& =4^n\\ 4^5& =4^n\\ n& =5\end{array}$

Karena banyaknya suku pada deret geometri diatas adalah $5$ maka nilai $x=5$

Contoh soal 7

Diantara bilangan $7$ dan $448$ disisipkan dua bilangan sehingga keempat bilangan tersebut membentuk barisan geometri. Tentukan barisan geometri yang terbentuk.

Jawab:

Diketahui $k=2$

sehingga 

$\begin{array}{rl}{r}^{\prime }& =\sqrt[k+1]{\frac{U_n}{a}}\\ & =\sqrt[2+1]{\frac{448}{7}}\\ & =\sqrt[3]{64}\\ & =4\end{array}$

Jadi, barisan geometri yang terbentuk adalah $7,28,112,448$

Contoh soal 8

Diketahui suatu barisan geometri $\frac{1}{64},\frac{1}{16},\frac{1}{4},...,1024$. Jika banyaknya suku pada barisan geometri tersebut ganjil. Tentukan suku tengahnya dan merupakan suku keberapa.

Jawab:

Barisan geometri : $\frac{1}{64},\frac{1}{16},\frac{1}{4},...,1024$

Sehingga diperoleh 

$a=\frac{1}{64}$  

$\begin{array}{rl}r& =\frac{\frac{1}{16}}{\frac{1}{64}}\\ & =4\end{array}$

$\begin{array}{rl}{U}_t& =\sqrt{a.U_n}\\ & =\sqrt{\frac{1}{64}.1024}\\ & =\sqrt{16}\\ & =4\end{array}$

Jadi, suku tengahnya adalah $4$

$\begin{array}{rl}{U}_t& =a{r}^{t-1}\\ 4& =\frac{1}{64}{.4}^{t-1}\\ 256& =4^{t-1}\\ 4^4& =4^{t-1}\\ 4& =t-1\\ t& =5\end{array}$

Jadi, suku tengahnya merupakan suku ke-$5$

Demikianlah beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi barisan dan deret geometri. Semoga bermanfaat. 

Referensi:

E. S., Pesta  dan Cecep Anwar H. F. S. 2008. Matematika aplikasi : untuk SMA dan MA kelas XII program studi ilmu alam. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional. 

Lestari, Sri dan Diah Ayu Kurniasih. 2009. Matematika 3: untuk SMA/MA Program Studi Bahasa Kelas XII. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.

Siswanto dan Umi Supraptinah. 2009. Matematika Inovatif 3: Konsep dan Aplikasinya untuk Kelas XII SMA dan MA Program Ilmu Pengetahuan Sosial. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.

Y., Rosihan Ari dan Indriyastuti. 2009. Khasanah Matematika 3: untuk kelas XII SMA/MA Program Bahasa. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.