Contoh Soal Pertidaksamaan Logaritma SMA/MA beserta Pembahasannya

Sifat-sifat Pertidaksamaan Logaritma

$\bullet$ Untuk $a>1$

Jika ${}^a \log f(x)<{}^a \log g(x)$ maka $f(x)<g(x)$, syarat: $f(x)>0,~g(x)>0$

Jika ${}^a \log f(x) \leq {}^a \log g(x)$ maka $f(x) \leq g(x)$, syarat: $f(x)>0,~g(x)>0$

Jika ${}^a \log f(x)>{}^a \log g(x)$ maka $f(x)>g(x)$, syarat: $f(x)>0,~g(x)>0$

Jika ${}^a \log f(x) \geq {}^a \log g(x)$ maka $f(x) \geq g(x)$, syarat: $f(x)>0,~g(x)>0$

$\bullet$ Untuk $0<a<1$

Jika ${}^a \log f(x)<{}^a \log g(x)$ maka $f(x)>g(x)$, syarat: $f(x)>0,~g(x)>0$

Jika ${}^a \log f(x) \leq {}^a \log g(x)$ maka $f(x) \geq g(x)$, syarat: $f(x)>0,~g(x)>0$

Jika ${}^a \log f(x)>{}^a \log g(x)$ maka $f(x)<g(x)$, syarat: $f(x)>0,~g(x)>0$

Jika ${}^a \log f(x) \geq {}^a \log g(x)$ maka $f(x) \leq g(x)$, syarat: $f(x)>0,~g(x)>0$

Untuk lebih jelasnya, berikut ini adalah contoh soal pertidaksamaan logaritma dan pembahasannya.

Contoh soal 1

Tentukan nilai $x$ yang memenuhi persamaan ${}^2 \log (x-2) \leq 3$

Jawab:

$ {}^2 \log (x-2) \leq 3$

$\Leftrightarrow {}^2 \log (x-2) \leq {}^2 \log 2^{3}$

$\Leftrightarrow {}^2 \log (x-2) \leq {}^2 \log 8$

$\bullet$ karena basisnya $a=2>1$, maka

$\begin{align} x-2 & \leq 8 \\ x & \leq 10 \end{align}$

$\bullet$ syarat $f(x) >0$:

$\Leftrightarrow x-2 >0 $

$\Leftrightarrow x>2$

Sehingga penyelesaiannya adalah sebagai berikut.

Jadi, HP $=\{2<x \leq 10\}$

Contoh soal 2

Tentukan nilai $x$ yang memenuhi persamaan ${}^{\frac{1}{3}} \log (x^{2}-8) >0$

Jawab:

$ {}^{\frac{1}{3}} \log (x^{2}-8) >0$

$\Leftrightarrow {}^{\frac{1}{3}} \log (x^{2}-8) >{}^{\frac{1}{3}} \log 1$

$\bullet$ karena basisnya $a=\frac{1}{3}<1$, maka

$\Leftrightarrow x^{2}-8 < 1$

$\Leftrightarrow x^{2}-9 < 0$

$\Leftrightarrow x^{2}-3^{2} < 0 $

$\Leftrightarrow -3<x<3 $

$\bullet$ syarat $f(x) >0$:

$\Leftrightarrow x^{2}-8 >0 $

$\Leftrightarrow x<-\sqrt{8}$ atau $x>\sqrt{8}$

Sehingga penyelesaiannya adalah sebagai berikut.

Jadi, HP $=\{-3< x < -\sqrt{8}~ atau~ \sqrt{8}< x<3\}$

Contoh soal 3

Tentukan nilai $x$ yang memenuhi persamaan ${}^{\frac{1}{2}} \log (2x^{2}-4x) > {}^{\frac{1}{2}} \log (3x+4) $

Jawab:

${}^{\frac{1}{2}} \log (2x^{2}-4x) > {}^{\frac{1}{2}} \log (3x+4) $

$\bullet$ karena basisnya $a=\frac{1}{2}<1$, maka

$\Leftrightarrow 2x^{2}-4x < 3x+4$

$\Leftrightarrow 2x^{2}-7x-4 < 0$

$\Leftrightarrow (2x+1)(x-4) < 0 $

$\Leftrightarrow -\frac{1}{2}<x<4 $

$\bullet$ syarat $f(x) >0$:

$\Leftrightarrow 2x^{2}-4x >0 $

$\Leftrightarrow 2x(x-2) >0 $

$\Leftrightarrow x<0$ atau $x>2$

$\bullet$ syarat $g(x) >0$:

$\Leftrightarrow 3x+4 >0 $

$\Leftrightarrow x > -\frac{4}{3}$

Sehingga penyelesaiannya adalah sebagai berikut.

Jadi, HP $=\{-\frac{1}{2}< x < 0~ atau~ 2< x<4\}$

Demikianlah beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi pertidaksamaan logaritma. Semoga bermanfaat.