Contoh Soal Pertidaksamaan Logaritma SMA/MA beserta Pembahasannya

Sifat-sifat Pertidaksamaan Logaritma

$\bullet$ Untuk $a>1$

Jika ${}^a\log f(x)<{}^a\log g(x)$ maka $f(x)<g(x)$, syarat: $f(x)>0,g(x)>0$

Jika ${}^a\log f(x)\le {}^a\log g(x)$ maka $f(x)\le g(x)$, syarat: $f(x)>0,g(x)>0$

Jika ${}^a\log f(x)>{}^a\log g(x)$ maka $f(x)>g(x)$, syarat: $f(x)>0,g(x)>0$

Jika ${}^a\log f(x)\ge {}^a\log g(x)$ maka $f(x)\ge g(x)$, syarat: $f(x)>0,g(x)>0$

$\bullet$ Untuk $0<a<1$

Jika ${}^a\log f(x)<{}^a\log g(x)$ maka $f(x)>g(x)$, syarat: $f(x)>0,g(x)>0$

Jika ${}^a\log f(x)\le {}^a\log g(x)$ maka $f(x)\ge g(x)$, syarat: $f(x)>0,g(x)>0$

Jika ${}^a\log f(x)>{}^a\log g(x)$ maka $f(x)<g(x)$, syarat: $f(x)>0,g(x)>0$

Jika ${}^a\log f(x)\ge {}^a\log g(x)$ maka $f(x)\le g(x)$, syarat: $f(x)>0,g(x)>0$

Untuk lebih jelasnya, berikut ini adalah contoh soal pertidaksamaan logaritma dan pembahasannya.

Contoh soal 1

Tentukan nilai $x$ yang memenuhi persamaan ${}^2\log (x-2)\le 3$

Jawab:

${}^2\log (x-2)\le 3$

$\iff {}^2\log (x-2)\le {}^2\log 2^3$

$\iff {}^2\log (x-2)\le {}^2\log 8$

$\bullet$ karena basisnya $a=2>1$, maka 

$\begin{array}{rl}x-2& \le 8\\ x& \le 10\end{array}$

$\bullet$ syarat $f(x)>0$:

$\iff x-2>0$  

$\iff x>2$

Sehingga penyelesaiannya adalah sebagai berikut.

Jadi, HP $=\{2<x\le 10\}$

Contoh soal 2

Tentukan nilai $x$ yang memenuhi persamaan ${}^{\frac{1}{3}}\log (x^2-8)>0$

Jawab:

${}^{\frac{1}{3}}\log (x^2-8)>0$

$\iff {}^{\frac{1}{3}}\log (x^2-8)>{}^{\frac{1}{3}}\log 1$

$\bullet$ karena basisnya $a=\frac{1}{3}<1$, maka 

$\iff x^2-8<1$ 

$\iff x^2-9<0$ 

$\iff x^2-3^2<0$ 

$\iff -3<x<3$

$\bullet$ syarat $f(x)>0$:

$\iff x^2-8>0$  

$\iff x<-\sqrt{8}$ atau $x>\sqrt{8}$

Sehingga penyelesaiannya adalah sebagai berikut.

Jadi, HP $=\{-3<x<-\sqrt{8}atau\sqrt{8}<x<3\}$

Contoh soal 3

Tentukan nilai $x$ yang memenuhi persamaan ${}^{\frac{1}{2}}\log (2x^2-4x)>{}^{\frac{1}{2}}\log (3x+4)$

Jawab:

${}^{\frac{1}{2}}\log (2x^2-4x)>{}^{\frac{1}{2}}\log (3x+4)$

$\bullet$ karena basisnya $a=\frac{1}{2}<1$, maka 

$\iff 2x^2-4x<3x+4$ 

$\iff 2x^2-7x-4<0$ 

$\iff (2x+1)(x-4)<0$ 

$\iff -\frac{1}{2}<x<4$

$\bullet$ syarat $f(x)>0$:

$\iff 2x^2-4x>0$ 

$\iff 2x(x-2)>0$ 

$\iff x<0$ atau $x>2$

$\bullet$ syarat $g(x)>0$:

$\iff 3x+4>0$ 

$\iff x>-\frac{4}{3}$

Sehingga penyelesaiannya adalah sebagai berikut.

Jadi, HP $=\{-\frac{1}{2}<x<0atau2<x<4\}$

Demikianlah beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi pertidaksamaan logaritma. Semoga bermanfaat. 

Baca juga :

Contoh Soal Persamaan Logaritma SMA/MA beserta Pembahasannya