Contoh Soal Persamaan Logaritma SMA/MA beserta Pembahasannya

Bentuk-bentuk Persamaan Logaritma

$\bullet {}^a\log f(x)={}^a\log c$, maka $f(x)=c$, syarat: $a>0$, $a\ne 1$, $f(x)>0$, $c>0$

$\bullet {}^a\log f(x)={}^a\log g(x)$, maka $f(x)=g(x)$, syarat: $a>0$, $a\ne 1$, $f(x)>0$, $g(x)>0$

$\bullet {}^a\log f(x)={}^b\log f(x)$, maka $f(x)=1$, syarat: $a>0$, $a\ne 1$, $b>0$, $b\ne 1$ $f(x)>0$

$\bullet {}^{h(x)}\log f(x)={}^{h(x)}\log g(x),$, maka $f(x)=g(x)$, syarat: $h(x)>0$, $h(x)\ne 1$, $f(x)>0$, $g(x)>0$

$\bullet A({}^a{\log }^{2}f(x))+B({}^a\log f(x))+C=0$

Untuk lebih jelasnya, berikut ini adalah contoh soal persamaan logaritma dari bentuk-bentuk diatas.

Contoh Soal Persamaan Logaritma Bentuk ${}^a\log f(x)={}^a\log c$, maka $f(x)=c$ 

Contoh soal 1

Tentukan nilai $x$ yang memenuhi persamaan ${}^2\log x+{}^2\log (x-2)=3$

Jawab:

${}^2\log x+{}^2\log (x-2)=3$

$\iff {}^2\log x(x-2)={}^2\log 2^3$

$\iff {}^2\log (x^2-2x)={}^2\log 8$

$\iff x^2-2x=8$

$\iff x^2-2x-8=0$

$\iff (x-4)(x+2)=0$

$\iff x=4\vee x=-2$

Cek syarat numerus :

$\bullet$ untuk $x=4$

$f(x)=x^2-2x\to f(4)=(4{)}^2-2(4)=8$ (memenuhi syarat $f(x)>0$)

$\bullet$ untuk $x=-2$

$f(x)=x^2-2x\to f(-2)=(-2{)}^2-2(-2)=8$ (memenuhi syarat $f(x)>0$)

Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan adalah $x=4$ atau $x=-2$

Contoh Soal Persamaan Logaritma Bentuk ${}^a\log f(x)={}^a\log g(x)$, maka $f(x)=g(x)$ 

Contoh soal 2

Tentukan nilai $x$ yang memenuhi persamaan ${}^3\log (x^2-2x+1)={}^3\log (2x^2-2)$

Jawab:

${}^3\log (x^2-2x+1)={}^3\log (2x^2-2)$

$\iff x^2-2x+1=2x^2-2$

$\iff x^2-2x^2-2x+1+2=0$

$\iff -x^2-2x+3=0$

$\iff (x+3)(-x+1)=0$

$\iff x=-3\vee x=1$

Cek syarat numerus :

$\bullet$ untuk $x=-3$

$f(x)=x^2-2x+1\to f(-3)=(-3{)}^2-2(-3)+1=16$ (memenuhi syarat $f(x)>0$)

$g(x)=2x^2-2\to g(-3)=2(-3{)}^2-2=16$ (memenuhi syarat $g(x)>0$)

$\bullet$ untuk $x=1$

$f(x)=x^2-2x+1\to f(1)=(1{)}^2-2(1)+1=0$ (tidak memenuhi syarat $f(x)>0$)

$g(x)=2x^2-2\to g(1)=2(1{)}^2-2=0$ (tidak memenuhi syarat $g(x)>0$)

Nilai $x=1$ tidak memenuhi syarat $f(x)>0$, $g(x)>0$ maka nilai $x$ yang memenuhi persamaan adalah $x=-3$ 

Contoh Soal Persamaan Logaritma Bentuk ${}^a\log f(x)={}^b\log f(x)$, maka $f(x)=1$ 

Contoh soal 3

Tentukan nilai $x$ yang memenuhi persamaan ${}^3\log (2x-5)-{}^5\log (2x-5)=0$

Jawab:

${}^3\log (2x-5)-{}^5\log (2x-5)=0$

$\iff {}^3\log (2x-5)={}^5\log (2x-5)$

$\iff 2x-5=1$

$\iff 2x=6$

$\iff x=3$

Cek syarat numerus :

$\bullet$ untuk $x=3$

$f(x)=2x-5\to f(3)=2(3)-5=1$ (memenuhi syarat $f(x)>0$)

Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan adalah $x=3$

Contoh Soal Persamaan Logaritma Bentuk ${}^{h(x)}\log f(x)={}^{h(x)}\log g(x),$ maka $f(x)=g(x)$ 

Contoh soal 4

Tentukan penyelesaian dari ${}^{(x+1)}\log (x+2)={}^{(x+1)}\log (3x-4)$

Jawab:

${}^{(x+1)}\log (x+2)={}^{(x+1)}\log (3x-4)$

$\iff x+2=3x-4$

$\iff 2x=6$

$\iff x=3$

Cek syarat :

$\bullet$ untuk $x=3$

$f(x)=x+2\to f(3)=3+2=5$ (memenuhi syarat $f(x)>0$)

$g(x)=3x-4\to g(3)=3(3)-4=5$ (memenuhi syarat $g(x)>0$)

$h(x)=x+1\to h(3)=3+1=4$ (memenuhi syarat $h(x)>0$, $h(x)\ne 1$)

Jadi, penyelesaiannya adalah $x=3$

Contoh Soal Persamaan Logaritma Bentuk $A({}^a{\log }^{2}f(x))+B({}^a\log f(x))+C=0$ 

Contoh soal 5

Tentukan penyelesaian dari ${}^3{\log }^{2}x=4.{}^3\log x-3$

Jawab:

${}^3{\log }^{2}x=4.{}^3\log x-3$

$\iff {}^3{\log }^{2}x-4.{}^3\log x+3=0$

Misalkan, ${}^3\log x=y$

$y^2-4y+3=0$

$\iff (y-1)(y-3)=0$

$\iff y=1\vee y=3$

$\bullet y=1\to {}^3\log x=1\to x_1=3^1=3$

$\bullet y=3\to {}^3\log x=3\to x_2=3^3=27$

Jadi, penyelesaiannya adalah $x=3$ atau $x=27$

Contoh soal 6

Tentukan penyelesaian dari $({}^2\log x-5).{}^2\log x=-6$

Jawab:

$({}^2\log x-5).{}^2\log x=-6$

$\iff {}^2{\log }^{2}x-5.{}^2\log x+6=0$

Misalkan, ${}^2\log x=y$

$y^2-5y+6=0$

$\iff (y-2)(y-3)=0$

$\iff y=2\vee y=3$

$\bullet y=2\to {}^2\log x=2\to x_1=2^2=4$

$\bullet y=3\to {}^2\log x=3\to x_2=2^3=8$

Jadi, penyelesaiannya adalah $x=4$ atau $x=8$

Demikianlah beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi persamaan logaritma. Semoga bermanfaat. 

Baca juga :

Contoh Soal Sifat-Sifat Logaritma SMA/MA dan Pembahasannya