Contoh Soal Persamaan Logaritma SMA/MA beserta Pembahasannya

Bentuk-bentuk Persamaan Logaritma

$\bullet~~{}^a \log f(x)={}^a \log c$, maka $f(x)=c$, syarat: $a>0$, $a \neq 1$, $f(x)>0$, $c>0$

$\bullet~~{}^a \log f(x)={}^a \log g(x)$, maka $f(x)=g(x)$, syarat: $a>0$, $a \neq 1$, $f(x)>0$, $g(x)>0$

$\bullet~~{}^a \log f(x)={}^b \log f(x)$, maka $f(x)=1$, syarat: $a>0$, $a \neq 1$, $b>0$, $b \neq 1$ $f(x)>0$

$\bullet~~{}^{h(x)} \log f(x) = {}^{h(x)} \log g(x) , \,$, maka $f(x)=g(x)$, syarat: $h(x)>0$, $h(x) \neq 1$, $f(x)>0$, $g(x)>0$

$\bullet A({}^a \log^{2} f(x)) + B({}^a \log f(x)) + C = 0 $

Untuk lebih jelasnya, berikut ini adalah contoh soal persamaan logaritma dari bentuk-bentuk diatas.

Contoh Soal Persamaan Logaritma Bentuk ${}^a \log f(x)={}^a \log c$, maka $f(x)=c$

Contoh soal 1

Tentukan nilai $x$ yang memenuhi persamaan ${}^2 \log x + {}^2 \log (x-2)=3$

Jawab:

${}^2 \log x + {}^2 \log (x-2)=3$

$\Leftrightarrow {}^2 \log x (x-2)={}^2 \log 2^{3}$

$\Leftrightarrow {}^2 \log (x^{2}-2x)={}^2 \log 8$

$\Leftrightarrow x^{2}-2x= 8$

$\Leftrightarrow x^{2}-2x-8= 0$

$\Leftrightarrow (x-4)(x+2)= 0$

$\Leftrightarrow x=4~\vee~x=-2$

Cek syarat numerus :

$\bullet$ untuk $x=4$

$f(x) = x^{2}-2x \rightarrow f(4) = (4)^{2}-2(4)=8 $ (memenuhi syarat $f(x)>0$)

$\bullet$ untuk $x=-2$

$f(x) = x^{2}-2x \rightarrow f(-2) = (-2)^{2}-2(-2)=8 $ (memenuhi syarat $f(x)>0$)

Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan adalah $x=4$ atau $x=-2$

Contoh Soal Persamaan Logaritma Bentuk ${}^a \log f(x)={}^a \log g(x)$, maka $f(x)=g(x)$

Contoh soal 2

Tentukan nilai $x$ yang memenuhi persamaan ${}^3 \log (x^{2}-2x+1) = {}^3 \log (2x^{2}-2)$

Jawab:

${}^3 \log (x^{2}-2x+1) = {}^3 \log (2x^{2}-2)$

$\Leftrightarrow x^{2}-2x+1= 2x^{2}-2$

$\Leftrightarrow x^{2}-2x^{2}-2x+1+2= 0$

$\Leftrightarrow -x^{2}-2x+3= 0$

$\Leftrightarrow (x+3)(-x+1)= 0$

$\Leftrightarrow x=-3~\vee~x=1$

Cek syarat numerus :

$\bullet$ untuk $x=-3$

$f(x) = x^{2}-2x+1 \rightarrow f(-3) = (-3)^{2}-2(-3)+1=16 $ (memenuhi syarat $f(x)>0$)

$g(x) = 2x^{2}-2 \rightarrow g(-3) = 2(-3)^{2}-2=16 $ (memenuhi syarat $g(x)>0$)

$\bullet$ untuk $x=1$

$f(x) = x^{2}-2x+1 \rightarrow f(1) = (1)^{2}-2(1)+1=0 $ (tidak memenuhi syarat $f(x)>0$)

$g(x) = 2x^{2}-2 \rightarrow g(1) = 2(1)^{2}-2=0 $ (tidak memenuhi syarat $g(x)>0$)

Nilai $x=1$ tidak memenuhi syarat $f(x)>0$, $g(x)>0$ maka nilai $x$ yang memenuhi persamaan adalah $x=-3$

Contoh Soal Persamaan Logaritma Bentuk ${}^a \log f(x)={}^b \log f(x)$, maka $f(x)=1$

Contoh soal 3

Tentukan nilai $x$ yang memenuhi persamaan ${}^{3} \log (2x-5) - {}^{5} \log (2x-5) =0$

Jawab:

${}^{3} \log (2x-5) - {}^{5} \log (2x-5)=0 $

$\Leftrightarrow {}^{3} \log (2x-5) = {}^{5} \log (2x-5)$

$ \Leftrightarrow 2x-5=1 $

$ \Leftrightarrow 2x=6 $

$ \Leftrightarrow x=3$

Cek syarat numerus :

$\bullet$ untuk $x=3$

$f(x) = 2x-5 \rightarrow f(3) = 2(3)-5=1 $ (memenuhi syarat $f(x)>0$)

Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan adalah $x=3$

Contoh Soal Persamaan Logaritma Bentuk ${}^{h(x)} \log f(x) = {}^{h(x)} \log g(x) , \,$ maka $f(x)=g(x)$

Contoh soal 4

Tentukan penyelesaian dari ${}^{(x+1)} \log (x+2) = {}^{(x+1)} \log (3x-4) $

Jawab:

${}^{(x+1)} \log (x+2) = {}^{(x+1)} \log (3x-4) $

$\Leftrightarrow x+2= 3x-4$

$\Leftrightarrow 2x= 6$

$\Leftrightarrow x= 3$

Cek syarat :

$\bullet$ untuk $x=3$

$f(x) = x + 2 \rightarrow f(3) = 3 + 2 = 5 $ (memenuhi syarat $f(x) >0$)

$g(x)=3x-4 \rightarrow g(3) = 3(3) -4 = 5 $ (memenuhi syarat $g(x)>0$)

$h(x)=x+1 \rightarrow h(3) = 3 +1 = 4$ (memenuhi syarat $h(x)>0$, $h(x) \neq 1$)

Jadi, penyelesaiannya adalah $x=3$

Contoh Soal Persamaan Logaritma Bentuk $ A({}^a \log^{2} f(x)) + B({}^a \log f(x)) + C = 0 $

Contoh soal 5

Tentukan penyelesaian dari ${}^{3} \log^{2} x = 4.{}^{3} \log x -3$

Jawab:

${}^{3} \log^{2} x = 4.{}^{3} \log x -3$

$\Leftrightarrow {}^{3} \log^{2} x - 4.{}^{3} \log x +3=0$

Misalkan, ${}^{3} \log x=y$

$y^{2}-4y+3=0$

$\Leftrightarrow (y-1)(y-3)=0$

$\Leftrightarrow y=1~\vee~y=3$

$\bullet~y=1 \rightarrow {}^{3} \log x=1 \rightarrow x_{1}=3^{1}=3$

$\bullet~y=3 \rightarrow {}^{3} \log x=3 \rightarrow x_{2}=3^{3}=27$

Jadi, penyelesaiannya adalah $x=3$ atau $x=27$

Contoh soal 6

Tentukan penyelesaian dari $({}^{2} \log x -5).{}^{2} \log x =-6$

Jawab:

$({}^{2} \log x -5).{}^{2} \log x =-6$

$\Leftrightarrow {}^{2} \log^{2} x - 5.{}^{2} \log x +6=0$

Misalkan, ${}^{2} \log x=y$

$y^{2}-5y+6=0$

$\Leftrightarrow (y-2)(y-3)=0$

$\Leftrightarrow y=2~\vee~y=3$

$\bullet~y=2 \rightarrow {}^{2} \log x=2 \rightarrow x_{1}=2^{2}=4$

$\bullet~y=3 \rightarrow {}^{2} \log x=3 \rightarrow x_{2}=2^{3}=8$

Jadi, penyelesaiannya adalah $x=4$ atau $x=8$

Demikianlah beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi persamaan logaritma. Semoga bermanfaat.