Contoh Soal Fungsi Invers SMA/MA beserta Pembahasannya

Menentukan Invers Suatu Fungsi

Contoh Soal 1

Diketahui fungsi $f(x)=5x-3$. Tentukanlah $f^{-1}(2)$.

Jawab:

Misalkan $y=f(x)$,

$\begin{array}{rl}y& =5x-3\\ 5x& =y+3\\ x& =\frac{y+3}{5}\\ f^{-1}(y)& =\frac{y+3}{5}\\ f^{-1}(x)& =\frac{x+3}{5}\end{array}$ 

Sehingga,

$\begin{array}{rl}{f}^{-1}(2)& =\frac{2+3}{5}\\ & =1\end{array}$

Jadi, $f^{-1}(2)=1$

*Tips cara cepat tanpa mencari $f^{-1}(x)$ terlebih dahulu.

Misalkan $f^{-1}(x)=b$ maka $f(b)=x$

Jika konsep diatas diterapkan pada soal adalah sebagai berikut,

Misalkan $f^{-1}(2)=b$  maka $f(b)=2$.

Karena $f(x)=5x-3$ maka $f(b)=5b-3$, sehingga

$\begin{array}{rl}5b-3& =2\\ 5b& =5\\ b& =1\end{array}$

Jadi, $f^{-1}(2)=1$

Contoh Soal 2

Tentukan fungsi invers dari $f(x)=\frac{5x+3}{3x+2}$, untuk $x\ne -\frac{2}{3}$.

Jawab:

Misalkan $y=f(x)$, untuk $x\ne -\frac{2}{3}$,

$\begin{array}{rl}y& =\frac{5x+3}{3x+2}\\ y(3x+2)& =5x+3\\ 3xy+2y& =5x+3\\ 3xy-5x& =3-2y\\ x(3y-5)& =3-2y\\ x& =\frac{3-2y}{3y-5}\\ f^{-1}(y)& =\frac{3-2y}{3y-5}\\ f^{-1}(x)& =\frac{3-2x}{3x-5}\end{array}$

Jadi, $f^{-1}(x)=\frac{3-2x}{3x-5}$, untuk $x\ne \frac{5}{3}$

Contoh Soal 3

Tentukan fungsi invers dari $f(x)=x^2-9$.

Jawab:

Misalkan $y=f(x)$,

$\begin{array}{rl}y& =x^2-9\\ x^2& =y+9\\ x& =\pm \sqrt{y+9}\\ f^{-1}(y)& =\pm \sqrt{y+9}\\ f^{-1}(x)& =\pm \sqrt{x+9}\end{array}$

Jadi, $f^{-1}(x)=\pm \sqrt{x+9}$; $x\ge -9$ 

Contoh Soal 4

Tentukan fungsi invers dari $f(x)=x^2-4x+3$

Jawab:

Misalkan $y=f(x)$,

$\begin{array}{rl}y& =x^2-4x+3\\ y& =(x-2{)}^2-1\\ (x-2{)}^2& =y+1\\ x-2& =\pm \sqrt{y+1}\\ x& =2\pm \sqrt{y+1}\\ f^{-1}(y)& =2\pm \sqrt{y+1}\\ f^{-1}(x)& =2\pm \sqrt{x+1}\end{array}$

Jadi, $f^{-1}(x)=2\pm \sqrt{x+1}$; $x\ge -1$ 

Contoh Soal 5

Tentukan invers dari fungsi $f(x)=2x^2-3x+1$.

Jawab:

Misalkan $y=f(x)$,

$\begin{array}{rl}y& =2x^2-3x+1\\ y-1& =2x^2-3x\\ \\ \frac{y-1}{2}& =x^2-\frac{3}{2}x\\ \\ \frac{y-1}{2}+(\frac{3}{4}{)}^2& =x^2-\frac{3}{2}x+(\frac{3}{4}{)}^2\\ \frac{y-1}{2}+(\frac{3}{4}{)}^2& =(x-\frac{3}{4}{)}^2\\ x-\frac{3}{4}& =\pm \sqrt{\frac{y-1}{2}+(\frac{3}{4}{)}^2}\\ x& =\frac{3}{4}\pm \sqrt{\frac{y-1}{2}+(\frac{3}{4}{)}^2}\\ f^{-1}(y)& =\frac{3}{4}\pm \sqrt{\frac{y-1}{2}+(\frac{3}{4}{)}^2}\\ f^{-1}(x)& =\frac{3}{4}\pm \sqrt{\frac{x-1}{2}+(\frac{3}{4}{)}^2}\end{array}$

Jadi, $f^{-1}(x)=\frac{3}{4}\pm \sqrt{\frac{x-1}{2}+(\frac{3}{4}{)}^2}$

Invers Fungsi Komposisi

Contoh Soal 6

Diketahui $f(x)=5x$ dan $g(x)=5-2x$. Tentukan $(f\circ g{)}^{-1}(x)$ dan $(g\circ f{)}^{-1}(x)$.

Jawab:

$(f\circ g)(x)=f(g(x))=f(5-2x)=25-10x$

$(f\circ g{)}^{-1}(x)$ dapat ditentukan sebagai berikut

Misalkan $(f\circ g)(x)=y$,

$\begin{array}{rl}y& =25-10x\\ 10x& =25-y\\ x& =\frac{25-y}{10}\\ (f\circ g{)}^{-1}(y)& =\frac{25-y}{10}\\ (f\circ g{)}^{-1}(x)& =\frac{25-x}{10}\end{array}$

Jadi, $(f\circ g{)}^{-1}(x)=\frac{25-x}{10}$

$(g\circ f)(x)=g(f(x))=g(5x)=5-10x$

$(g\circ f{)}^{-1}(x)$ dapat ditentukan sebagai berikut

Misalkan $(g\circ f)(x)=y$,

$\begin{array}{rl}y& =5-10x\\ 10x& =5-y\\ x& =\frac{5-y}{10}\\ (g\circ f{)}^{-1}(y)& =\frac{5-y}{10}\\ (g\circ f{)}^{-1}(x)& =\frac{5-x}{10}\end{array}$

Jadi, $(g\circ f{)}^{-1}(x)=\frac{5-x}{10}$

Contoh Soal 7

Jika $f(x)=2x^{\frac{2}{3}}$ dan $g(x)=x^{\frac{3}{2}}$. Tentukan $(g\circ f{)}^{-1}(\sqrt{2})$

Jawab:

$\begin{array}{rl}(g\circ f)(x)=g(f(x))& =g(2x^{\frac{2}{3}})\\ & =(2x^{\frac{2}{3}}{)}^{\frac{3}{2}}\\ & =2\sqrt{2}x\end{array}$

Misalkan $(g\circ f)(x)=y$,

$\begin{array}{rl}y& =2\sqrt{2}x\\ x& =\frac{y}{2\sqrt{2}}\\ (g\circ f{)}^{-1}(y)& =\frac{y}{2\sqrt{2}}\\ (g\circ f{)}^{-1}(x)& =\frac{x}{2\sqrt{2}}\\ (g\circ f{)}^{-1}(\sqrt{2})& =\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}\\ (g\circ f{)}^{-1}(\sqrt{2})& =\frac{1}{2}\end{array}$

Jadi, $(g\circ f{)}^{-1}(\sqrt{2})$ adalah $\frac{1}{2}$

Contoh Soal 8

Jika $f(x)=5-2x$, $g(x)=x^2-25$, dan $h(x)=\frac{1}{4}g(f(x))$. Tentukan nilai $h^{-1}(x)$

Jawab:

$\begin{array}{rl}g(f(x))& =g(5-2x)\\ & =(5-2x{)}^2-25\\ & =4x^2-20x\end{array}$

Sehingga,

$\begin{array}{rl}h(x)& =\frac{1}{4}g(f(x))\\ & =\frac{1}{4}(4x^2-20x)\\ & =x^2-5x\end{array}$

Misalkan $h(x)=y$,

$\begin{array}{rl}y& =x^2-5x\\ \\ y+(\frac{5}{2}{)}^2& =x^2-5x+(\frac{5}{2}{)}^2\\ y+\frac{25}{4}& =(x-\frac{5}{2}{)}^2\\ x-\frac{5}{2}& =\pm \sqrt{y+\frac{25}{4}}\\ x& =\frac{5}{2}\pm \sqrt{y+\frac{25}{4}}\\ h^{-1}(y)& =\frac{5}{2}\pm \sqrt{y+\frac{25}{4}}\\ h^{-1}(x)& =\frac{5}{2}\pm \sqrt{x+\frac{25}{4}}\end{array}$

Jadi, $h^{-1}(x)=\frac{5}{2}\pm \sqrt{x+\frac{25}{4}}$

Contoh Soal 9

Pada suatu perusahaan, mesin I mengubah bahan mentah menjadi bahan setengah jadi, dan mesin II mengubah bahan setengah jadi menjadi bahan jadi. Kinerja mesin I mengikuti fungsi $f(x)=2x$, sedangkan mesin II kinerjanya mengikuti fungsi $g(x)=3x^2-5$, dengan $x$ adalah banyak bahan mentah yang tersedia.

$a$) Jika bahan mentah yang tersedia untuk produksi sebanyak $5$ kg, berapa unit barang jadi yang dihasilkan?

$b$) Jika proses produksi itu menghasilkan $427$ barang jadi, berapa kg bahan mentah yang harus disediakan?

Jawab:

$a$) Proses produksi dari bahan mentah sampai menjadi barang jadi, menghasilkan:

$(g\circ f)(x)=g(f(x))=12x^2-5$

Untuk $x=5$, $(g\circ f)(5)=12(5{)}^2-5=295$

Jadi, unit barang jadi yang dihasilkan adalah $295$.

$b$) Soal ini bisa diselesaikan melalui konsep invers dari fungsi komposisi $(g\circ f)(x)$.

Telah diperoleh $(g\circ f)(x)=12x^2-5$, sehingga dapat dicari $(g\circ f{)}^{-1}(x)$ sebagai berikut.

Misalkan $(g\circ f)(x)=y$,

$\begin{array}{rl}y& =12x^2-5\\ 12x^2& =y+5\\ x^2& =\frac{y+5}{12}\\ x& =\pm \sqrt{\frac{y+5}{12}}\\ (g\circ f{)}^{-1}(y)& =\pm \sqrt{\frac{y+5}{12}}\\ (g\circ f{)}^{-1}(x)& =\pm \sqrt{\frac{x+5}{12}}\end{array}$

Untuk $x=427$ diperoleh $(g\circ f{)}^{-1}(427)=\pm \sqrt{\frac{427+5}{12}}=\pm \sqrt{36}=\pm 6$.

Jadi, bahan mentah yang harus disediakan adalah $6$ kg.

Demikianlah beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi fungsi invers. Semoga bermanfaat.

Referensi

Djumanta, Wahyudin dan R. Sudrajat. 2008. Mahir Mengembangkan Matematika 2:untuk Kelas XI mengengah Atas / Madrasah Aliyah. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.

Sutrima dan Budi Usodo. 2009. Matematika 2: untuk SMA / MA Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Sosial. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.

Y., Rosihan Ari dan Indriyastuti. 2009. Khasanah Matematika 2: untuk kelas XI SMA/MA Program Ilmu Pengetahuan Sosial. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.