Contoh Soal Fungsi Invers SMA/MA beserta Pembahasannya
Menentukan Invers Suatu Fungsi
Contoh Soal 1
Diketahui fungsi $f(x)=5x-3$. Tentukanlah $f^{-1}(2)$.
Jawab:
Misalkan $y=f(x)$,
$\begin{aligned} y &= 5x-3 \\ 5x &= y +3 \\ x &= \frac{y +3}{5} \\ f^{-1}(y) &= \frac{y +3}{5} \\ f^{-1}(x) &= \frac{x +3}{5} \end{aligned}$
Sehingga,
$\begin{aligned} f^{-1}(2) &= \frac{2 +3}{5} \\ &= 1 \end{aligned}$
Jadi, $f^{-1}(2)=1$
*Tips cara cepat tanpa mencari $f^{-1}(x)$ terlebih dahulu.
Misalkan $f^{-1}(x)=b$ maka $f(b)=x$
Jika konsep diatas diterapkan pada soal adalah sebagai berikut,
Misalkan $f^{-1}(2)=b$ maka $f(b)=2$.
Karena $f(x)=5x-3$ maka $f(b)=5b-3$, sehingga
$\begin{aligned} 5b-3 &= 2 \\ 5b &= 5 \\ b &= 1 \end{aligned}$
Jadi, $f^{-1}(2)=1$
Contoh Soal 2
Tentukan fungsi invers dari $f(x)=\frac{5x+3}{3x+2}$, untuk $x \neq -\frac{2}{3}$.
Jawab:
Misalkan $y=f(x)$, untuk $x \neq -\frac{2}{3}$,
$\begin{aligned} y &= \frac{5x+3}{3x+2} \\ y(3x+2) &= 5x +3 \\ 3xy+2y &= 5x+3 \\ 3xy-5x &= 3-2y \\ x(3y-5) &= 3-2y \\ x &= \frac{3-2y}{3y-5} \\ f^{-1}(y) &= \frac{3-2y}{3y-5} \\ f^{-1}(x) &= \frac{3-2x}{3x-5} \end{aligned}$
Jadi, $f^{-1}(x) = \frac{3-2x}{3x-5}$, untuk $x \neq \frac{5}{3}$
Contoh Soal 3
Tentukan fungsi invers dari $f(x)= x^{2}-9$.
Jawab:
Misalkan $y=f(x)$,
$\begin{aligned} y &= x^{2}-9 \\ x^{2} &= y + 9 \\ x &= \pm \sqrt{y+9} \\ f^{-1}(y) &= \pm \sqrt{y+9} \\ f^{-1}(x) &= \pm \sqrt{x+9} \end{aligned}$
Jadi, $f^{-1}(x) = \pm \sqrt{x + 9}$; $ x \geq -9 $
Contoh Soal 4
Tentukan fungsi invers dari $f(x)=x^{2}-4x+3$
Jawab:
Misalkan $y=f(x)$,
$\begin{aligned} y &= x^{2}-4x+3 \\ y &= (x-2)^{2} - 1 \\ (x-2)^{2} &= y + 1 \\ x-2 &= \pm \sqrt{y + 1} \\ x &= 2 \pm \sqrt{y + 1} \\ f^{-1}(y) &= 2 \pm \sqrt{y + 1} \\ f^{-1}(x) &= 2 \pm \sqrt{x + 1} \end{aligned}$
Jadi, $f^{-1}(x) = 2 \pm \sqrt{x + 1} $; $ x \geq -1 $
Contoh Soal 5
Tentukan invers dari fungsi $f(x)=2x^{2}-3x+1$.
Jawab:
Misalkan $y=f(x)$,
$\begin{aligned} y &= 2x^{2}-3x+1 \\ y - 1 &= 2x^{2}-3x \\ \hline \\ \frac{y - 1}{2} &= x^{2}- \frac{3}{2}x \\ \hline \\ \frac{y - 1}{2} + (\frac{3}{4})^{2} &= x^{2}- \frac{3}{2}x + (\frac{3}{4})^{2} \\ \frac{y - 1}{2} + (\frac{3}{4})^{2} &= (x- \frac{3}{4})^{2} \\ x- \frac{3}{4} &= \pm \sqrt{\frac{y - 1}{2} + (\frac{3}{4})^{2}} \\ x &= \frac{3}{4} \pm \sqrt{\frac{y - 1}{2} + (\frac{3}{4})^{2}} \\ f^{-1}(y) &= \frac{3}{4} \pm \sqrt{\frac{y - 1}{2} + (\frac{3}{4})^{2}} \\ f^{-1}(x) &= \frac{3}{4} \pm \sqrt{\frac{x - 1}{2} + (\frac{3}{4})^{2}}\end{aligned}$
Jadi, $f^{-1}(x) = \frac{3}{4} \pm \sqrt{\frac{x - 1}{2} + (\frac{3}{4})^{2}}$
Invers Fungsi Komposisi
Contoh Soal 6
Diketahui $f(x)=5x$ dan $g(x)=5-2x$. Tentukan $(f \circ g)^{-1}(x)$ dan $(g \circ f)^{-1}(x)$.
Jawab:
$(f \circ g)(x)=f(g(x))=f(5-2x)=25-10x$
$(f \circ g)^{-1}(x)$ dapat ditentukan sebagai berikut
Misalkan $(f \circ g)(x)=y$,
$\begin{aligned} y &= 25-10x \\ 10x &= 25-y \\ x &= \frac{25-y}{10} \\ (f \circ g)^{-1}(y) &= \frac{25-y}{10} \\ (f \circ g)^{-1}(x) &= \frac{25-x}{10} \end{aligned}$
Jadi, $(f \circ g)^{-1}(x)= \frac{25-x}{10}$
$(g \circ f)(x)=g(f(x))=g(5x)=5-10x$
$(g \circ f)^{-1}(x)$ dapat ditentukan sebagai berikut
Misalkan $(g \circ f)(x)=y$,
$\begin{aligned} y &= 5-10x \\ 10x &= 5-y \\ x &= \frac{5-y}{10} \\ (g \circ f)^{-1}(y) &= \frac{5-y}{10} \\ (g \circ f)^{-1}(x) &= \frac{5-x}{10} \end{aligned}$
Jadi, $(g \circ f)^{-1}(x)= \frac{5-x}{10}$
Contoh Soal 7
Jika $f(x)=2x^{\frac{2}{3}}$ dan $g(x)=x^{\frac{3}{2}}$. Tentukan $(g \circ f)^{-1}(\sqrt{2})$
Jawab:
$\begin{aligned} (g \circ f)(x) = g(f(x)) &= g(2x^{\frac{2}{3}}) \\ &= (2x^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{2}} \\ &= 2 \sqrt{2} x \end{aligned}$
Misalkan $(g \circ f)(x)=y$,
$\begin{aligned} y &= 2 \sqrt{2} x \\ x &= \frac{y}{2 \sqrt{2}} \\ (g \circ f)^{-1}(y) &= \frac{y}{2 \sqrt{2}} \\ (g \circ f)^{-1}(x) &= \frac{x}{2 \sqrt{2}} \\ (g \circ f)^{-1}(\sqrt{2}) &= \frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{2}} \\ (g \circ f)^{-1}(\sqrt{2}) &= \frac{1}{2} \end{aligned}$
Jadi, $(g \circ f)^{-1}(\sqrt{2})$ adalah $\frac{1}{2}$
Contoh Soal 8
Jika $f(x)=5-2x$, $g(x)=x^{2}-25$, dan $h(x)= \frac{1}{4} g(f(x))$. Tentukan nilai $h^{-1}(x)$
Jawab:
$\begin{aligned} g(f(x)) &= g(5-2x) \\ &= (5-2x)^{2}-25 \\ &= 4x^{2}-20x \end{aligned}$
Sehingga,
$\begin{aligned} h(x) &= \frac{1}{4} g(f(x)) \\ &= \frac{1}{4} (4x^{2}-20x) \\ &= x^{2}-5x \end{aligned}$
Misalkan $h(x)=y$,
$\begin{aligned} y &= x^{2}-5x \\ \hline \\ y + (\frac{5}{2})^{2} &= x^{2}-5x+ (\frac{5}{2})^{2} \\ y + \frac{25}{4} &= (x- \frac{5}{2})^{2} \\ x- \frac{5}{2} &= \pm \sqrt{y + \frac{25}{4}} \\ x &= \frac{5}{2} \pm \sqrt{y + \frac{25}{4}} \\ h^{-1}(y) &= \frac{5}{2} \pm \sqrt{y + \frac{25}{4}} \\ h^{-1}(x) &= \frac{5}{2} \pm \sqrt{x + \frac{25}{4}} \end{aligned}$
Jadi, $h^{-1}(x) = \frac{5}{2} \pm \sqrt{x + \frac{25}{4}}$
Contoh Soal 9
Pada suatu perusahaan, mesin I mengubah bahan mentah menjadi bahan setengah jadi, dan mesin II mengubah bahan setengah jadi menjadi bahan jadi. Kinerja mesin I mengikuti fungsi $f(x)=2x$, sedangkan mesin II kinerjanya mengikuti fungsi $g(x)=3x^{2}-5$, dengan $x$ adalah banyak bahan mentah yang tersedia.
$a$) Jika bahan mentah yang tersedia untuk produksi sebanyak $5$ kg, berapa unit barang jadi yang dihasilkan?
$b$) Jika proses produksi itu menghasilkan $427$ barang jadi, berapa kg bahan mentah yang harus disediakan?
Jawab:
$a$) Proses produksi dari bahan mentah sampai menjadi barang jadi, menghasilkan:
$(g \circ f)(x)=g(f(x))= 12x^{2}-5$
Untuk $x=5$, $(g \circ f)(5)= 12(5)^{2}-5=295$
Jadi, unit barang jadi yang dihasilkan adalah $295$.
$b$) Soal ini bisa diselesaikan melalui konsep invers dari fungsi komposisi $(g \circ f)(x)$.
Telah diperoleh $(g \circ f)(x)= 12x^{2}-5$, sehingga dapat dicari $(g \circ f)^{-1}(x)$ sebagai berikut.
Misalkan $(g \circ f)(x)=y$,
$ \begin{aligned} y &= 12x^{2}-5 \\ 12x^{2} &= y+5 \\ x^{2} &= \frac{y+5}{12} \\ x &= \pm \sqrt{\frac{y+5}{12}} \\ (g \circ f)^{-1}(y) &= \pm \sqrt{\frac{y+5}{12}} \\ (g \circ f)^{-1}(x) &= \pm \sqrt{\frac{x+5}{12}} \end{aligned}$
Untuk $x= 427$ diperoleh $(g \circ f)^{-1}(427)= \pm \sqrt{\frac{427+5}{12}} = \pm \sqrt{36} = \pm 6 $.
Jadi, bahan mentah yang harus disediakan adalah $6$ kg.
Demikianlah beberapa contoh soal dan pembahasan pada materi fungsi invers. Semoga bermanfaat.
Referensi
Djumanta, Wahyudin dan R. Sudrajat. 2008. Mahir Mengembangkan Matematika 2:untuk Kelas XI mengengah Atas / Madrasah Aliyah. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.
Sutrima dan Budi Usodo. 2009. Matematika 2: untuk SMA / MA Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Sosial. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.
Y., Rosihan Ari dan Indriyastuti. 2009. Khasanah Matematika 2: untuk kelas XI SMA/MA Program Ilmu Pengetahuan Sosial. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.
