Perkalian dan Pembagian Bentuk Aljabar

Pada kesempatan kali ini, kita akan mempelajari materi mengenai Perkalian dan Pembagian Bentuk Aljabar. Berikut rangkuman materinya. Selamat belajar dan semoga bermanfaat.

Perkalian dan Pembagian Bentuk Aljabar

Perkalian Bentuk Aljabar

Perkalian dalam aljabar mengikuti prinsip-prinsip yang sama dengan perkalian pada bilangan bulat, terutama sifat distributif terhadap penjumlahan dan pengurangan. Dalam bentuk aljabar, operasi perkalian dapat melibatkan konstanta, suku satu, suku dua, atau lebih.

Perkalian Suatu Konstanta dengan Bentuk Aljabar

Ketika sebuah konstanta dikalikan dengan bentuk aljabar, maka setiap suku dalam bentuk aljabar tersebut harus dikalikan dengan konstanta tersebut. Operasi ini mengikuti sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan dan pengurangan.

Adapun perkalian suatu bilangan konstanta k dengan bentuk aljabar suku satu dan suku dua dinyatakan sebagai berikut:

k(ax) = kax
k(ax + b) = kax + kb

Contoh Soal 1
Jabarkan bentuk aljabar berikut, kemudian sederhanakanlah:
1. 4(p + q)
2. 5(ax + by)
3. 3(x - 2) + 6(7x + 1)
4. -8(2x - y + 3z)

Jawab:
1. 4(p + q) = 4p + 4q
2. 5(ax + by) = 5ax + 5by
3. 3(x - 2) + 6(7x + 1) = 3x - 6 + 42x + 6
= 3x + 42x - 6 + 6
= 45x
4. -8(2x - y + 3z) = -16x + 8y - 24z

Contoh Soal 2
Sebuah kolam renang berbentuk persegi panjang dengan panjang (x + 10) meter dan lebar 30 meter. Berapakah luas dan keliling kolam renang dalam bentuk aljabar?

Jawab:
Panjang = x + 10
Lebar = 30
Luas kolam = (x + 10) × 30
= 30x + 300
Keliling kolam = 2((x + 10) + 30)
= 2(x + 40)
= 2x + 80

Contoh Soal 3
Panjang taman adalah (y + 12) meter dan lebarnya 25 meter. Berapakah luas dan keliling taman dalam bentuk aljabar?

Jawab:
Panjang = y + 12
Lebar = 25
Luas taman = (y + 12) × 25
= 25y + 300
Keliling taman = 2((y + 12) + 25)
= 2(y + 37)
= 2y + 74

Perkalian Antara Dua Bentuk Aljabar

Untuk melakukan perkalian dua bentuk aljabar, kita tetap menggunakan sifat distributif. Cara ini dapat diterapkan pada semua bentuk, baik itu suku satu dengan suku dua, maupun suku dua dengan suku dua, bahkan lebih.

Perkalian Suku Satu dengan Suku Dua
ax(bx + c) = abx² + acx
dengan ax adalah bentuk aljabar suku satu dan (bx+c) adalah bentuk aljabar suku dua.

Perkalian Suku Dua dengan Suku Dua
(ax + b)(cx + d) = acx² + (ad + bc)x + bd
dengan (ax+b) adalah bentuk aljabar suku dua dan (cx+d) adalah bentuk aljabar suku dua.

Perkalian Suku Dua dengan Suku Tiga
(ax + b)(cx² + dx + e) = acx³ + (ad + bc)x² + (ae + bd)x + be
dengan (ax+b) adalah bentuk aljabar suku dua dan (cx^2+dx+e) adalah bentuk aljabar suku tiga.

Contoh Soal 1
Jabarkan bentuk aljabar berikut, kemudian sederhanakanlah:

3x(2x + 5)
(2x + 3)(3x - 2)
(-4a + b) + (4a + 2b)
(2x - 1)(x² - 2x + 4)

Jawab:
1. 3x(2x + 5) = 6x² + 15x
2. (2x + 3)(3x - 2) = 6x² - 4x + 9x + 6 = 6x² + 5x + 6
3. (-4a + b) + (4a + 2b) = -16a² - 8ab + 4ab + 2b²
= -16a² - 4ab + 2b²
4. (2x - 1)(x² - 2x + 4) = 2x³ - 4x² + 8x - x² + 2x - 4
= 2x³ - 5x² + 10x - 4

Contoh Soal 2
Seorang tukang membuat taman berbentuk persegi panjang. Lebar taman adalah 2x meter, dan panjangnya adalah (3x + 5) meter. Berapakah luas dan keliling taman dalam bentuk aljabar?

Jawab:
Luas = (3x + 5)(2x)
= 6x² + 10x
Keliling = 2((3x + 5) + 2x)
= 2(5x + 5)
= 10x + 10

Contoh Soal 3
Sebuah kolam renang berbentuk persegi panjang dengan panjang (x + 3) meter dan lebar (x + 2) meter. Berapakah luas dan keliling kolam renang dalam bentuk aljabar?

Jawab:
Luas = (x + 3)(x + 2)
= x² + 5x + 6
Keliling = 2((x + 3) + (x + 2))
= 2(2x + 5)
= 4x + 10

Contoh Soal 4
Sebuah kolam ikan berbentuk persegi panjang dengan panjang (2x + 4) meter dan lebar (x + 1) meter. Panitia desa ingin membangun jalan setapak selebar 1 meter mengelilingi bagian luar kolam tersebut.
Pertanyaan:
a) Nyatakan luas kolam dalam bentuk aljabar.
b) Nyatakan keliling kolam dalam bentuk aljabar.
c) Hitung luas total area kolam + jalan setapak dalam bentuk aljabar.
d) Tentukan luas jalan setapak saja dalam bentuk aljabar.

Jawab:
a) Luas kolam = (2x + 4)(x + 1)
= 2x² + 6x + 4
b) Keliling kolam = 6x + 10
c) Panjang baru = (2x + 6)
Lebar baru = (x + 3)
Luas total = (2x + 6)(x + 3)
= 2x² + 12x + 18
d) Luas jalan = (2x² + 12x + 18) − (2x² + 6x + 4)
= 6x + 14

Pembagian Bentuk Aljabar

Untuk menyederhanakan hasil bagi dua bentuk aljabar, kita perlu mengidentifikasi faktor-faktor yang sama antara pembilang dan penyebut, kemudian melakukan pembagian pada suku atau faktor yang sesuai.

Langkah-langkah penyederhanaan:
1. Faktorkan pembilang dan penyebut jika memungkinkan.
2. Coret atau sederhanakan faktor yang sama.
3. Tulis hasil dalam bentuk paling sederhana.

Contoh Soal 1
Sederhanakanlah pembagian bentuk aljabar berikut.
1. 3xy / 2y
2. (6a³b²) / (3a²b)
3. (24p²q + 18pq²) / 3pq

Jawab:
1. 3xy / 2y = (3/2)x
2. (6a³b²) / (3a²b) = 2ab
3. (24p²q + 18pq²) / 3pq = 3pq(8p + 6q) / 3pq = 8p + 6q

Contoh Soal 2
Ari berlari mengelilingi sebuah lapangan berbentuk persegi panjang. Panjang lapangan tersebut adalah 12x meter, dan lebarnya adalah (3x + 15) meter. Ari berlari dengan kecepatan konstan dan mampu menyelesaikan 1 putaran penuh mengelilingi lapangan dalam waktu 30 menit. Berapakah kecepatan konstan Ari dalam satuan meter per menit? Nyatakan dalam bentuk aljabar.

Jawab:
Keliling = 2 × (12x + (3x + 15))
= 2 × (15x + 15)
= 30x + 30
Kecepatan = (30x + 30) / 30
= x + 1

Contoh Soal 3
Sinta bersepeda mengelilingi taman berbentuk persegi panjang. Panjang taman adalah (8x + 4) meter, dan lebarnya adalah (2x + 6) meter. Sinta menyelesaikan 2 putaran penuh dalam waktu 20 menit dengan kecepatan konstan. Berapakah kecepatan konstan Sinta dalam meter per menit? Nyatakan dalam bentuk aljabar.

Jawab:
Keliling = 2 × ((8x + 4) + (2x + 6))
= 2 × (10x + 10)
= 20x + 20
Jarak 2 putaran = 2 × (20x + 20)
= 40x + 40
Kecepatan = (40x + 40)/20
= 20(2x + 2)/20
= 2x + 2

Contoh Soal 4
Santi bersepeda mengelilingi taman berbentuk persegi panjang. Panjang taman = (x² + 3x) meter sedangkan lebar taman = (x + 2) meter. Sinta menyelesaikan 1 putaran penuh dalam waktu (x + 2) menit dengan kecepatan konstan.Berapakah kecepatan konstan Santi dalam satuan meter per menit? Nyatakan dalam bentuk aljabar yang paling sederhana.

Jawab:
Keliling = 2 × ((x² + 3x) + (x + 2))
= 2 × (x² + 4x + 2)
= 2x² + 8x + 4
Kecepatan = (2x² + 8x + 4) / (x + 2)
= 2x + 4

Demikian rangkuman materi mengenai Perkalian dan Pembagian Bentuk Aljabar. Semoga postingan ini membantu proses belajar dan dapat digunakan sebagai bahan ajar. Sampai jumpa di materi selanjutnya!