Pembuktian Rumus Aturan Sinus
Aturan Sinus
Perhatikan segitiga sembarang ABC dibawah ini
Jika a, b, dan c masing-masing menyatakan panjang sisi dari segitiga sembarang ABC diatas, maka dapat berlaku rumus aturan sinus sebagai berikut.
$\boxed{\begin{align} \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \end{align} \,}$
Untuk pembuktian rumus aturan sinus-nya adalah sebagai berikut.
$\sin A = \frac{CE}{AC}\ \text{atau}\ CE = AC \sin A \leftrightarrow CE = b \sin A\ ...(1)$
Perhatikan segitiga BEC,
$\sin B = \frac{CE}{BC}\ \text{atau}\ CE = BC \sin B \leftrightarrow CE = a \sin B\ ...(2)$
Berdasarkan persamaan $(1)$ dan $(2)$ diperoleh:
$\begin{aligned} b \sin A\ &= a \sin B\ \text{(kedua ruas dibagi sinAsinB)}\\ \frac{b \cancel{sin A}}{\cancel{sinA}sinB}&=\frac{a \cancel{sinB}}{sinA\cancel{sinB}} \end{aligned}$
maka diperoleh:
$\begin{aligned} \frac{b}{sinB}=\frac{a}{sinA}\ ...(3) \end{aligned}$
Perhatikan segitiga ABD,
$\sin A = \frac{BD}{AB}\ \text{atau}\ BD = AB \sin A \leftrightarrow BD = c \sin A\ ...(4)$
Perhatikan segitiga CBD,
$\sin C = \frac{BD}{BC}\ \text{atau}\ BD = BC \sin C \leftrightarrow BD = a \sin C\ ...(5)$
Berdasarkan persamaan $(4)$ dan $(5)$ diperoleh:
$\begin{aligned} c \sin A\ &= a \sin C\ \text{(kedua ruas dibagi sinAsinC)}\\ \frac{c \cancel{sin A}}{\cancel{sinA} sinC}&=\frac{a \cancel{sin C}}{sinA\cancel{sinC}} \end{aligned}$
maka diperoleh:
$\begin{aligned} \frac{c}{sinC}=\frac{a}{sinA}\ ...(6) \end{aligned}$
Berdasarkan persamaan $(3)$ dan $(6)$, dapat diperoleh:
$\boxed{\begin{align} \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \end{align} \,}$
Berikut ini contoh soal aturan sinus dan pembahasannya.
Contoh soal 1
Tentukan panjang AC pada segitiga berikut.
Jawab:
$\begin{aligned} \frac{AC}{sinB}&=\frac{AB}{sinC}\\ \frac{AC}{\sin 120^\circ}&=\frac{12}{\sin 45^\circ}\\ \frac{AC}{\frac{1}{2}\sqrt{3}}&=\frac{12}{\frac{1}{2}\sqrt{2}}\\ AC&=\frac{6\sqrt{3}}{\frac{1}{2}\sqrt{2}}\\ AC&=6\sqrt{6} \end{aligned}$
Jadi, panjang AC adalah $6\sqrt{6}$ cm
Contoh soal 2
Diketahui segitiga ABC dengan besar sudut $A =30^\circ $, sudut $B =45^\circ $. Jika $ab=36\sqrt{2}$ cm. Panjang sisi $b$ adalah ...
Jawab:
$\begin{aligned} \frac{a}{sinA}&=\frac{b}{sinB}\\ \frac{a}{\sin 30^\circ}&=\frac{b}{\sin 45^\circ}\\ \frac{a}{\frac{1}{2}}&=\frac{b}{\frac{1}{2}\sqrt{2}}\\ a&=\frac{\frac{1}{2}b}{\frac{1}{2}\sqrt{2}}\\ a&=\frac{b\sqrt{2}}{2} ... (1) \end{aligned}$
Dari bentuk $ab=36\sqrt{2}$ dapat diperoleh $a=\frac{36\sqrt{2}}{b}...(2)$
Sehingga dari bentuk $(1)$ dan $(2)$ dapat diperoleh
$\begin{aligned} \frac{b\sqrt{2}}{2}&=\frac{36\sqrt{2}}{b}\\ \sqrt{2}b^2&= 72\sqrt{2} \\ b^2&=\frac{72\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\\ b&=\sqrt{72}\\ b&=6\sqrt{2} \end{aligned}$
Jadi, panjang $b$ adalah $6\sqrt{2}$ cm
Demikianlah pembahasan terkait pembuktian rumus aturan sinus beserta contoh soalnya. Semoga bermanfaat.