Aturan Luas Segitiga dengan Unsur Trigonometri

Aturan Luas Segitiga dengan Unsur Trigonometri

Perhatikan segitiga sembarang ABC dibawah ini

$\bullet$ Jika dalam segitiga ABC diketahui dua sisi dan besar sudut yang diapit oleh kedua sisi tersebut, maka luasnya dapat ditentukan dengan menggunakan salah satu rumus berikut:

$\boxed{\begin{aligned} L&=\frac{1}{2} bc \text{ sin A}\\ L&=\frac{1}{2} ac \text{ sin B}\\ L&=\frac{1}{2} ab \text{ sin C}  \end{aligned}}$

$\bullet$ Jika dalam segitiga ABC diketahui ketiga sisinya, maka luasnya dapat ditentukan dengan rumus berikut:

$\boxed{\begin{aligned} L&=\sqrt{(s)(s-a)(s-b)(s-c)}\\ \text{dengan } s&=\frac{1}{2}(a+b+c)=\frac{1}{2} \times (\text{keliling segitiga ABC}) \end{aligned}}$

Untuk pembuktian rumus-nya adalah sebagai berikut.

$\color{green}{\text{Bukti rumus } L=\frac{1}{2} bc \text{ sin A}}$

Perhatikan segitiga ADC, 

$\begin{aligned} \text{sin A}&= \frac{CD}{AC}=\frac{t}{b}\\ t&= b \text{ sin A} ...(1) \end{aligned}$

$\begin{aligned} \text{Luas segitiga ABC} &= \frac{1}{2} \times \text{ alas}  \times \text{ tinggi} \\ &= \frac{1}{2} \times \text{AB}  \times \text{CD}\\ &= \frac{1}{2} \times \text{c}  \times \text{t} \\ &= \frac{1}{2} \times \text{c}  \times \text{b sin A} \text{(substitusikan nilai t dari pers (1))}\\ \text{Luas segitiga ABC}&= \frac{1}{2} bc \text{ sin A}   \end{aligned} $

$\color{green}{\text{Bukti rumus } L=\frac{1}{2} ac \text{ sin B}}$

Perhatikan segitiga BDC, 

$\begin{aligned} \text{sin B}&= \frac{CD}{BC}=\frac{t}{a}\\ t&= a \text{ sin B} ...(2) \end{aligned}$

$\begin{aligned} \text{Luas segitiga ABC} &= \frac{1}{2} \times \text{ alas}  \times \text{ tinggi} \\ &= \frac{1}{2} \times \text{AB}  \times \text{CD}\\ &= \frac{1}{2} \times \text{c}  \times \text{t} \\ &= \frac{1}{2} \times \text{c}  \times \text{a sin B} \text{(substitusikan nilai t dari pers (2))}\\ \text{Luas segitiga ABC}&= \frac{1}{2} ac \text{ sin B}   \end{aligned} $

$\color{green}{\text{Bukti rumus } L=\frac{1}{2} ab \text{ sin C}}$

Berdasarkan aturan sinus pada segitiga ABC:

$\begin{aligned} \frac{b}{\text{sin B}}&=\frac{c}{sin C}\\ \text{sin B}&=\frac{\text{b sinC}}{c}...(3) \end{aligned}$

$\begin{aligned}  \text{Luas segitiga ABC}&= \frac{1}{2} ac \text{ sin B}\\ &= \frac{1}{2} ac \frac{b .sinC}{c} \text{(substitusikan nilai sin B dari pers (3))} \\ \text{Luas segitiga ABC}&= \frac{1}{2} ab \text{ sin C}  \end{aligned} $

Berikut ini beberapa contoh soal dan pembahasannya.

Contoh soal 1

Dalam segitiga ABC diketahui panjang a= 8 cm, sisi b= 10cm dan besar sudut C =$30^\circ$. Hitunglah luas segitiga ABC tersebut.

Jawab:

$\begin{aligned} \text{Luas segitiga ABC} &= \frac{1}{2} ab \text{ sin C}\\ &= \frac{1}{2} 8.10 . sin 30^\circ\\ &= \frac{1}{2} .80.\frac{1}{2}\\&=20   \end{aligned}$

Jadi, luas segitiga ABC adalah $20 cm^2$

Contoh soal 2

Dalam segitiga ABC diketahui panjang b= 6 cm, besar sudut A =$30^\circ$, dan besar sudut C =$45^\circ$. Hitunglah luas segitiga ABC tersebut.

Jawab:

Menghitung besar sudut B

$\begin{aligned} \text{Besar sudut B}&=180^\circ-(\text{sudut A}+\text{sudut C})\\&=180^\circ-(30^\circ+45^\circ)\\ &= 180^\circ-75^\circ\\ &= 105^\circ \end{aligned}$

Mencari panjang sisi a dengan aturan sinus

$\begin{aligned} \frac{a}{sin A}&=\frac{b}{sin B}\\ \frac{a}{sin 30^\circ}&=\frac{6}{sin 105^\circ}\\ \frac{a}{0,5}&=\frac{6}{0,965}\\ a&=3,105  \end{aligned}$

Jadi,panjang sisi a adalah $3,105 $cm

Sehingga dapat diperoleh luas segitiga ABC sebagai berikut

$\begin{aligned} L&= \frac{1}{2} ab \text{ sin C}\\ &=\frac{1}{2}. 3,105.6 .sin45^\circ \\ &= \frac{1}{2}. 3,105.6 .\frac{1}{2}\sqrt{2}\\ &= 6,586 \end{aligned}$

Jadi, luas segitiga ABC tersebut adalah $6,586cm^2$

 Demikianlah pembahasan terkait aturan luas segitiga dengan unsur trigonometri beserta contoh soalnya. Semoga bermanfaat.