Aturan Luas Segitiga dengan Unsur Trigonometri

Aturan Luas Segitiga dengan Unsur Trigonometri

Perhatikan segitiga sembarang ABC dibawah ini

$\bullet$ Jika dalam segitiga ABC diketahui dua sisi dan besar sudut yang diapit oleh kedua sisi tersebut, maka luasnya dapat ditentukan dengan menggunakan salah satu rumus berikut:

$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{rl}L& =\frac{1}{2}bc\text{ sin A}\\ L& =\frac{1}{2}ac\text{ sin B}\\ L& =\frac{1}{2}ab\text{ sin C}\end{array}}}$

$\bullet$ Jika dalam segitiga ABC diketahui ketiga sisinya, maka luasnya dapat ditentukan dengan rumus berikut:

$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{rl}L& =\sqrt{(s)(s-a)(s-b)(s-c)}\\ \text{dengan }s& =\frac{1}{2}(a+b+c)=\frac{1}{2}\times (\text{keliling segitiga ABC})\end{array}}}$

Untuk pembuktian rumus-nya adalah sebagai berikut.

$\text{Bukti rumus }L=\frac{1}{2}bc\text{ sin A}$

Perhatikan segitiga ADC, 

$\begin{array}{rl}\text{sin A}& =\frac{CD}{AC}=\frac{t}{b}\\ t& =b\text{ sin A}...(1)\end{array}$

$\begin{array}{rl}\text{Luas segitiga ABC}& =\frac{1}{2}\times \text{ alas}\times \text{ tinggi}\\ & =\frac{1}{2}\times \text{AB}\times \text{CD}\\ & =\frac{1}{2}\times \text{c}\times \text{t}\\ & =\frac{1}{2}\times \text{c}\times \text{b sin A}\text{(substitusikan nilai t dari pers (1))}\\ \text{Luas segitiga ABC}& =\frac{1}{2}bc\text{ sin A}\end{array}$

$\text{Bukti rumus }L=\frac{1}{2}ac\text{ sin B}$

Perhatikan segitiga BDC, 

$\begin{array}{rl}\text{sin B}& =\frac{CD}{BC}=\frac{t}{a}\\ t& =a\text{ sin B}...(2)\end{array}$

$\begin{array}{rl}\text{Luas segitiga ABC}& =\frac{1}{2}\times \text{ alas}\times \text{ tinggi}\\ & =\frac{1}{2}\times \text{AB}\times \text{CD}\\ & =\frac{1}{2}\times \text{c}\times \text{t}\\ & =\frac{1}{2}\times \text{c}\times \text{a sin B}\text{(substitusikan nilai t dari pers (2))}\\ \text{Luas segitiga ABC}& =\frac{1}{2}ac\text{ sin B}\end{array}$

$\text{Bukti rumus }L=\frac{1}{2}ab\text{ sin C}$

Berdasarkan aturan sinus pada segitiga ABC:

$\begin{array}{rl}\frac{b}{\text{sin B}}& =\frac{c}{sinC}\\ \text{sin B}& =\frac{\text{b sinC}}{c}...(3)\end{array}$

$\begin{array}{rl}\text{Luas segitiga ABC}& =\frac{1}{2}ac\text{ sin B}\\ & =\frac{1}{2}ac\frac{b.sinC}{c}\text{(substitusikan nilai sin B dari pers (3))}\\ \text{Luas segitiga ABC}& =\frac{1}{2}ab\text{ sin C}\end{array}$

Berikut ini beberapa contoh soal dan pembahasannya.

Contoh soal 1

Dalam segitiga ABC diketahui panjang a= 8 cm, sisi b= 10cm dan besar sudut C =${30}^{\circ }$. Hitunglah luas segitiga ABC tersebut.

Jawab:

$\begin{array}{rl}\text{Luas segitiga ABC}& =\frac{1}{2}ab\text{ sin C}\\ & =\frac{1}{2}8.10.sin{30}^{\circ }\\ & =\frac{1}{2}.80.\frac{1}{2}\\ & =20\end{array}$

Jadi, luas segitiga ABC adalah $20c{m}^2$

Contoh soal 2

Dalam segitiga ABC diketahui panjang b= 6 cm, besar sudut A =${30}^{\circ }$, dan besar sudut C =${45}^{\circ }$. Hitunglah luas segitiga ABC tersebut.

Jawab:

Menghitung besar sudut B

$\begin{array}{rl}\text{Besar sudut B}& ={180}^{\circ }-(\text{sudut A}+\text{sudut C})\\ & ={180}^{\circ }-({30}^{\circ }+{45}^{\circ })\\ & ={180}^{\circ }-{75}^{\circ }\\ & ={105}^{\circ }\end{array}$

Mencari panjang sisi a dengan aturan sinus

$\begin{array}{rl}\frac{a}{sinA}& =\frac{b}{sinB}\\ \frac{a}{sin{30}^{\circ }}& =\frac{6}{sin{105}^{\circ }}\\ \frac{a}{0,5}& =\frac{6}{0,965}\\ a& =3,105\end{array}$

Jadi,panjang sisi a adalah $3,105$cm

Sehingga dapat diperoleh luas segitiga ABC sebagai berikut

$\begin{array}{rl}L& =\frac{1}{2}ab\text{ sin C}\\ & =\frac{1}{2}.3,105.6.sin{45}^{\circ }\\ & =\frac{1}{2}.3,105.6.\frac{1}{2}\sqrt{2}\\ & =6,586\end{array}$

Jadi, luas segitiga ABC tersebut adalah $6,586c{m}^2$

 Demikianlah pembahasan terkait aturan luas segitiga dengan unsur trigonometri beserta contoh soalnya. Semoga bermanfaat.